�����Ƚ������� No.15

��15���ܤμ��� : ������

���� 15.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ��������ط��� $x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��������롣 ���ΤȤ���

1. $\sim$ ��Ʊ�ʹط��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. �ʲ���������Ǥϡ� $x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $\sim$ �˴ؤ��륯�饹�� $[x]$ �Ƚ񤯡� $1$ �Υ��饹 $[1]$ ��°���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ��򤹤٤������ʤ�����
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x])=$   ($x$ �� $3$ �dz�ä�;��) ������Ǥ������������
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x])=$   ($x$ �� $4$ �dz�ä�;��) ������Ǥ������������

���� 15.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ��������ط��� $x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��������롣 ���ΤȤ���

1. $\sim$ ��Ʊ�ʹط��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. �ʲ���������Ǥϡ� $x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $\sim$ �˴ؤ��륯�饹�� $[x]$ �Ƚ񤯡� $3$ �Υ��饹 $[3]$ ��°���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ��򤹤٤������ʤ�����
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x])=$   ($x$ �� $5$ �dz�ä�;��) ������Ǥ������������
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x])=$   ($x$ �� $4$ �dz�ä�;��) ������Ǥ������������

���� 15.1   ̿�� P: $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$( x<y \implies \exists z\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}( x<z \text{ and } z<y)))$ �ˤĤ��ơ�

1. P ������̿�� (not P)���not ��Ȥ鷺�ˡ׽񤭤ʤ�����
2. P �� not P �Τ��������Ǥ���ΤϤɤ������������

���� 15.2   ���� $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^2-2x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���Ф��ơ�

1. $f^{-1}(\{0\})$ ����ʤ�����
2. $f^{-1}(\{1\})$ ����ʤ�����
3. $f^{-1}(\{4,5,6\})$ ����ʤ�����
4. $f$ ��ñ�ͤ�����������ͳ��󤲤������ʤ�����
5. $f$ �����ͤ�����������ͳ��󤲤������ʤ�����
6. $f$ �ˤ�ä� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ�ʹط� $\sim_f$ ��
   $$x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)$$
   �ˤ����ޤ롣���� $\sim_f$ �ˤ�� $3$ ��Ʊ�ͤˤʤ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ��� ���٤Ƶ��ʤ�����

���� 15.3   ���� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2-2x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $f^{-1}(\{0\})$ ����ʤ�����
2. $f^{-1}(\{1\})$ ����ʤ�����
3. $f$ ��ñ�ͤ�����������ͳ��󤲤������ʤ�����
4. $f$ �����ͤ�����������ͳ��󤲤������ʤ�����
5. $f$ �ˤ�ä� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ʊ�ʹط� $\sim_f$ ��
   $$x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)$$
   �ˤ����ޤ롣���� $\sim_f$ �ˤ�� $3$ ��Ʊ�ͤˤʤ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �θ��� ���٤Ƶ��ʤ�����

���� 15.4   ���� $f:X\to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ�

1. $X$ ��Ǥ�դ���ʬ���� $A,B$ �ˤ������ơ� $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $X$ ��Ǥ�դ���ʬ�����² $\{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ �ˤ������ơ� $f^{-1}(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda =\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(A_\lambda)$ ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

3. $X$ ��Ǥ�դ���ʬ�����² $\{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ �ˤ������ơ� $f^{-1}(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda =\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(A_\lambda)$ ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����