�����Ƚ������� No.9

���������򤹤�Ȥ��ˡ��֥ۥƥ�ҥ�٥�ȡפΤ褦�ʲ���Ǥ���ΤǤ�����

���β��Ǥϡ����ͤϡ��ֶ��������ʤ����ȡפ��б����� ñ�ͤϡ��ֳ������ļ���(ñ�ͤǤʤ����Ȥϡ� �������������뤳��)���б�����ΤǤ�����

���ͤ�ñ�ͤ�¸�ߤϡ��Ͻ���Ƚ�����θ���¿���ȴط����Ƥ���ΤǤ�����

&dotfill#dotfill;

��9���ܤμ��� :

���� 9.1 (��)   ���� $X$ , $Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$X$ �Τ��Τ��Τθ� $x$ ������ $Y$ �Υ��ԡ� $Y_x$ ���Ѱդ���С� $\{ Y_x\}_{x \in X}$ �ϤҤȤĤν����²�Ǥ��롣 $X$ ���� $Y$ �ؤμ��� $f$ ��

$$\prod_{x \in X} Y_x$$

�θ� $(f(x))_{x \in X}$ ��Ʊ��뤵��롣���ʤ���� ľ�ѽ��� $\prod_{x \in X} Y_x$ ��$X$ ���� $Y$ �ؤμ������Τν����Ʊ���Ǥ��롣

��� 9.2 (��)   $X$ ���� $Y$ �ؤμ��������ΤΤʤ������ $Y^X$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ï¤Þ¤ï¿½

$$\operatorname{Hom}_{\text{set}} (X,Y)$$

�Ƚ񤯾��⤢�롣

���� 9.3 (�������)   ���Ǥʤ�����Ф��꤫��ʤ뽸��² $\{X_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ �� �������ơ� $\prod_\lambda X_\lambda$ �϶��ǤϤʤ��� ����������ȡ�̵�¸Ĥζ��Ǥʤ����礿�� $X_\lambda$ ���顢���ä����˰�ĤŤ� ������Ф����Ȥ���ǽ�Ǥ��롣

���������

��� 9.4   ���� $f: X\to Y$ �� $g: Y \to Z$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$f,g$ ���������� $g\circ f: X\to Z$ ��

$$(g\circ f) (x)= g(f(x))$$

��������롣

����̿��ϴ�ñ�ǤϤ��뤬ͭ�ѤǤ��롣���Ѿ�Ϥ��Τ褦��̿�꤬���뤳�Ȥ��� �������Ƥ����ơ���������Ƭ����dzΤ����Τ�������������

̿�� 9.5   ���� $f: X\to Y$ �� $g: Y \to Z$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ��������ʤꤿ�ġ�

1. $f,g$ ���Ȥ��ñ�ͤʤ�� $g \circ f$ ��ñ�ͤǤ��롣
2. $f,g$ ���Ȥ�����ͤʤ�� $g \circ f$ �����ͤǤ��롣
3. $f,g$ ���Ȥ����ñ�ͤʤ�� $g \circ f$ ����ñ�ͤǤ��롣
4. $g \circ f$ ��ñ�ͤʤ�С� $f$ ��ñ�ͤǤ��롣
5. $g \circ f$ �����ͤʤ�С� $g$ �����ͤǤ��롣

��� 9.6   ���� $X$ ���Ф��ơ����� $X \ni x \mapsto x \in X$ �� $X$ �����������Ȥ����� ${\operatorname{id}}_X$ ��ɽ����

̿�� 9.7   ���� $X,Y$ �ȡ����� $f: X\to Y$ ����� $g: Y\to X$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ����Τ��ȤϤ��٤�Ʊ�ͤǤ��롣

1. $f$ ����ñ�ͤǤ��äơ�$g$ �� $f$ �εռ����Ǥ��롣
2. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ ���� $f\circ g={\operatorname{id}}_Y$ .
3. $f$ �����ͤǤ��äơ� $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ .
4. $f$ ��ñ�ͤǤ��äơ� $f\circ g={\operatorname{id}}_Y$ .

���̿��⡢ $(1) {\Leftrightarrow}(2)$ �ʳ��Ϥ������ٳ�ǧ������ɤ��� $(1) {\Leftrightarrow}(2)$ ���ä˽��פǤ��롣

���� 9.1   $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ , $Y=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni x \to x \in Y$ �� $g :Y \ni x \to \vert x\vert \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������

��� 9.8   �¿� $x$ ���Ф��ơ�$x$ ��Ķ���ʤ��褦�������Τ�������Τ�Τ� $\lfloor x \rfloor$ �Ƚ�(floor of $x$ ���ɤࡣ)�� �㤨�С�

$$\lfloor 3.14 \rfloor =3, \quad \lfloor -3.14 \rfloor= -4, \quad$$

�Ǥ��롣�ޤ���Ǥ�դ����� $n$ ���Ф��ơ� $\lfloor n \rfloor = n$ �Ǥ��롣

���̤ˡ��¿� $x$ ������ $n$ ���Ф��ơ�

$$\lfloor x \rfloor = n \ {\Leftrightarrow}\ n \leq x < n+1$$

�ˤ����դ��Ƥ��������Τ� $\lfloor x \rfloor$ �Τ��Ȥ� $[x]$ �� �񤤤ơ��֥���������פȸƤ֤��Ȥ�¿���ä����� ���� floor �Τۤ����̤꤬�ɤ��ʤ�ĤĤ���褦�Ǥ��롣

���� 9.2   $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $Y={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni x \to 2 x \in Y$ �� $g :Y \ni x \to \lfloor x/2 \rfloor \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������

���� 9.3   $X={\mathbb{C}}[t]$ (ʣ�ǿ������� $t$ ���ѿ��Ȥ���¿�༰�����ΤΤʤ�����), $Y={\mathbb{C}}[t]$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni p \to \int_0^t p dt \in Y$ �� $g :Y \ni p \mapsto \frac{d}{d t} p \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������