�����Ƚ������� No.5

��5���ܤμ��� :

�����Ƚ����΢ʢ�δط��ˤ��ꡢ�������޴ط�(�ޤࡢ�ޤޤ��δط�)�� �б����������Ǿ�������Τ��ɤ��ΤǤ�����

&dotfill#dotfill;

���� 5.1   $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset 5 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����������

���� 5.2   $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset 6 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����������

��ľ�ѽ���

���̤�, �� $x$ �� �� $y$ ������Ĥ����¤٤���� $(x,y)$ �� $x,y$ �Υڥ�(��)�ȸƤ֡� $x,y$ ���¿��ξ��ˤϳ���֤�����Ʊ������ˤʤäƤ��ޤäƤ��ơ� ʶ��路���Τ����� ���̤���Ȥ��ˤϡֶ�� $(x,y)$ ��,�֥ڥ�(��) $(x,y)$ �פ����ˤĤ���� �ɤ���������

��� 5.1   ���� $X,Y$ ���Ф��ơ�$X$ ��� $Y$ �θ��Υڥ������Τν���

$$\{(x,y); x \in X , y\in Y\}$$

�� $X$ �� $Y$ ��ľ�ѽ����Ȥ����� $X\times Y$ �ǽ�ɽ����

��äȰ��̤ˡ� ����² $\{X_\lambda\}_\lambda \in \Lambda$ ���Ф��ơ�

$$\{(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}; x_\lambda \in X_\lambda \}$$

�� $\{X_\lambda\}$ ��ľ�ѽ����Ȥ����� $\prod_{\lambda \in \Lambda}X_\lambda$ �ǽ�ɽ����

ľ�ѽ���ϡ��Ѥν���פǤ��ʤ������Τ��Ȥ�Ĵ���뤿�ᡢ ľ�ѽ���Τ��Ȥ�֥ǥ�����ѽ���פȤ��ֽ���Ȥ��Ƥ�ľ�ѡפȸƤ֤��Ȥ⤢�롣

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �Τ��Ȥ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ , $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �Τ��Ȥ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ ���� ά�����롣

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ���ФƤ����Ĥ��Ǥˡ�����򰷤��ݤ˴��ܤˤʤ� �ֳ����硢�Ľ���פˤĤ��� �������Ƥ�������

�ʲ��Ǥ������ͤ��������Ѥ��롣�⹻�Ǥ褯�ФƤ���������¾�����ڤʤΤ�

$$\vert x+y\vert\leq \vert x\vert+\vert y\vert$$

�Ȥ��������Ǥ������������������������������ȸƤФ�롣

���� 5.3   $D_1=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert+\vert y\vert<1 \}$ , $B_1=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<1\}$ �Ȥ����Ȥ��� $D_1 \subset B_1$ ����������

���� 5.4   $D_{1/2}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert+\vert y\vert<1/2 \}$ , $B_{1/2}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<1/4\}$ �Ȥ����Ȥ��� $D_{1/2} \subset B_{1/2}$ ����������

���� 5.5   ���μ¿� $r$ ���Ф��ơ� $D_{r}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert+\vert y\vert<r \}$ , $B_{r}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<r^2\}$ �Ȥ����Ȥ��� $D_r \subset B_r$ ����������

$v=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ˤ������������Υ�� (�桼����åɥΥ��)��

$$\vert\vert v\vert\vert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+ \dots + v_n^2}$$

��������롣���ΤȤ��� $v=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ , $w=(w_1,w_2,\dots, w_n)$ �ˤ������ơ�

$$\vert\vert v+w\vert\vert \leq \vert\vert v\vert\vert +\vert\vert w\vert\vert$$

���ʤꤿ�ġ�(������������) ���Τ��Ȥξ��������Ѥ�������������Ѥ����ۤ����ɤ��Τ� �����ǤϾʤ�����̣�Τ���ͤ���������ζ��ʽ�򸫤Ƥߤ뤳�ȡ�

���̤ˡ� $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �� $r>0$ ���Ф��ơ�

$$B_r(a)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; \vert\vert x-a\vert\vert< r\}$$

($a$ ���濴�Ȥ���Ⱦ�� $r$ �Υܡ��롣)�Ȥ�����

���� 5.6   $v\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �� ���� $R$ �Ȥ����ȡ�

$$B_r(v) \subset B_{(R+r)}(0)$$

������Ω�Ĥ��Ȥ�������衣

���̤ˡ� $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �� $r>0$ ���Ф��ơ� $a$ ���濴�Ȥ���Ⱦ�� $r$ �����

$$B_r(a)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; \vert\vert x-a\vert\vert< r\}$$

�ǡ��ޤ����ĵ��Τ�

$$\bar{B}_r(a)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; \vert\vert x-a\vert\vert\leq r\}$$

�Ǥ��줾��������롣

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ���� $U$ ��

$$\forall x \in U \exists r \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$_{>0} \quad B_r(x) \subset U$$

���������Ȥ���(�̾����˴ؤ���)�������Ǥ���ȸƤФ�롣 ������Ȥϡ��ֶ�����ޤޤʤ�����פȤ������Ȥο���Ū��ɽ���Ǥ��롣

������Ȥ�����Τ�١����ˤ��ơ��ֱ󤤡סֶᤤ�ס֤Ĥʤ��äƤ���פʤɤ� ��ǰ�����Ū�˼�갷����褦�ˤ�����Τ�����������Ǥ��롣 ����������ϸ�����ؤˤ��������ѽ��פʰ��֤����Ƥ��ơ� �ʤ�ǿ��ؤ�ؤӤ����ͤϡ��㤨����ʬ��ʬ�ؤγؽ����¹Ԥ��Ƴؽ����Ƥߤ�Τ� ��������Ǥ��롣

�ֶ����פȤ������ռ��Τ����Ū��ɽ���Ǥ��뤬�� �����ǤϤ����ޤǤ�Ƨ�߹��ޤʤ����Ȥˤ��롣

���� 5.7   ���� $B_1(0)$ �ϳ�����Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 5.8   �ĵ� $\bar{B}_1(0)$ �ϳ�����ǤϤʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 5.9   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ����ʬ���� $\{(x,0) ; x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ �ϳ�����ǤϤʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 5.10   Ǥ�դ� $a,b \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ��Ǥ�դ����ο� $r_1,r_2$ �ˤ������ơ� $B_ {r_1}(a)\cap B_{r_2}(b)$ �ϳ�����Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 5.11   Ǥ�դ�

$$\bigcap_{n=1}^\infty B_{1+1/n} (0)=\bar B_1(0)$$

�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���̤ˡ�������Σ��Ĥζ�����ʬ�ϳ���������� ̵�¸Ĥζ�����ʬ�ϳ�����Ȥϸ¤�ʤ���

����ϡ��֥Υ��פȤ���ɸ��Ū�ʤ��(�桼����åɥΥ��)���Ѥ������� ����ʳ��Ρ֥Υ��פ˴ؤ��Ƥ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ΰ��꤬������졢 ���ĤϷ�ɤ����ϰ��פ��롣�Ĥޤꡢ Ϳ����줿���礬�����礫�ɤ����� �ɤΥΥ��ǹͤ��Ƥ⡢ �Ѥ��ʤ������Τ��Ȥϡ�������Ȥ�����ǰ���Υ������ܤˤ��뤳�Ȥ� ��̣���Ƥ��롣