�����Ƚ������� No.4

��4���ܤμ��� :

�ޤ�������������

���� 4.1   $\forall x >0( \exists y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x>y>0))$ �Ͽ����������������������� ��ͳ��Ĥ��ƽҤ٤ʤ�����

���� 4.2   $\exists y >0( \forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x>y>0))$ �Ͽ����������������������� ��ͳ��Ĥ��ƽҤ٤ʤ�����

�������������ޤ�

����δط��������ǽҤ٤뤳�Ȥ�褯���롣

���� 4.3  

$$\forall x \in 5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\text{¤Ë¤¿¤¤¤·¤Æ} ( x\in 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})\text{ ¤¬¤Ê¤ê¤¿¤Ä}$$

����������������?

����������Ȥ�΢ʢ�δط��ˤ���ΤǤ��ä��������� $\forall$ �� $\exists$ ���б����뽸����Ū�ʳ�ǰ��¸�ߤ��롣

��� 4.1   �������������� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ �ΰ�İ�Ĥθ� $n$ ���Ф��ƽ��� $S_n$ �� Ϳ�����Ƥ���Ȥ���������� $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ�����

Ʊ�ͤˡ����� $\Lambda$ �ΰ�İ�Ĥθ� $\lambda$ ���Ф��ƽ��� $S_\lambda$ ��Ϳ����줿�Ȥ��������² $\{S_\lambda\}_{\lambda \Lambda}$ ��Ϳ�� ��줿�Ȥ�����$\Lambda$ �Τ��Ȥ򤳤�²��ź�������ȸƤ֡�

������󽸹���Ͻ���²�����̤ʾ��Ǥ��롣 $\{S_n\}_{n\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}}$ �Τ��Ȥ� $\{S_n\}_{n=1}^\infty$ �Τ褦�˽񤤤Ƥ���ΤǤ��롣

��� 4.2   ����² $\{ S_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ �ˤ������ơ� �����½���ȶ�����ʬ��

$$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda =\{ x ; \forall \lambda \in \Lambda \quad (x \in S_\lambda)\}$$

$$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda =\{ x ; \exists \lambda \in \Lambda \quad (x \in S_\lambda)\}$$

�ˤ��������롣

������ˤĤ��Ƥϡ����ζ�����ʬ

$$\bigcap_{n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}} S_n$$

�Τ��Ȥ�

$$\bigcap_{n=1}^\infty S_n$$

�Τ��Ȥ��񤯤��Ȥ�¿�����½����Ʊ�͡�

���� 4.4  

$$\bigcap_{n=1}^\infty (0, \frac{1}{n}) =\emptyset$$

�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� ���դε�����������Ȥ��äơ�����ҤȤĤ�����ʤ�����Τ��Ȥ򤵤� ����Ǥ��롣

���� 4.5  

$$\bigcap_{\epsilon>0} (-\infty, 1+\epsilon) =(-\infty, 1]$$

�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� ���դϷ��줷���񤱤� $$\bigcap_{\epsilon \in \mbox{${\mathbb{R}}$}_{>0}} (-\infty,1+\epsilon)$$ �Ȥʤ�Ȥ����Ǥ��뤬����Τ褦�˾�ά���뤳�Ȥ������ˤ��Ƥ��롣

�����Ƚ����΢ʢ�δط��򤦤ޤ����Ѥ��ơ�����Ū�ʻ����� ���绻��ɽ�����Ƥ��ޤ��ޤ����Ω�Ľ�����뤳�Ȥ��Ǥ��롣 �����������¬�����κǽ�ΤȤ����ʤɤϤȤ��ˤ��μ�ˡ�������˸���롣

��Ȥ��ơ� ���Τ褦�ʤ��Ȥ�ͤ��褦��

$$\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} ; \exists n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\quad \vert x-n\vert<\frac{1}{n^2+1}\}$$

$$= \bigcup_{n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}} \{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$}; \vert x-n\vert<\frac{1}{n^2+1}\}$$

$$= \bigcup_{n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}} \left( n-\frac{1}{n^2+1} ,n+\frac{1}{n^2+1} \right )$$

���ν���ϡ�Ĺ�������� $l$ ��ͭ�� ( $l=\sum_{n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}} \frac{1}{n^2+1}$ ) �Ǥ���褦�ʳ���֤��½���Ǥ��ꡢ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ�Ǥ��롣

Ʊ�ͤˤ��ơ�Ǥ�դ� $\epsilon >0$ ���Ф��ơ�

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset \{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} ; \exists n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\quad \vert x-n\vert<\frac{\epsilon/l}{n^2+1}\}$$

$$= \bigcup_{n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}} \left( n-\frac{\epsilon/l}{n^2+1} ,n+\frac{\epsilon/l}{n^2+1} \right )$$

�Ǥ��롣���Τ��Ȥϡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� Ĺ�������¤�$\epsilon$ �Ǥ���褦�ʳ���֤��½����ʤ���뤳�Ȥ򼨤��Ƥ��롣

$$\{ x \in [0,1] ; \forall n \in {\mbo... ... \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}} \quad (\vert\frac{m}{n} -x\vert<\frac{1}{n^3})) \}$$

$$= \bigcap_{n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$... ...m \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}} \quad (\vert\frac{m}{n} -x\vert<\frac{1}{n^3}) \}$$

$$= \bigcap_{n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}} \bigcup_{m \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}} \{ x \in [0,1] : \vert\frac{m}{n} -x\vert<\frac{1}{n^3} \}$$

$$= \bigcap_{n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}} \bigcup_{m \in {\mbo... ...[0,1] \cap \big( \frac{m}{n} -\frac{1}{n^3}, \frac{m}{n} +\frac{1}{n^3} \big) )$$

$$= [0,1]\cap (\bigcap_{n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}} \bigcup_{... ...bb{Z}}$}}} \big( \frac{m}{n} -\frac{1}{n^3}, \frac{m}{n} +\frac{1}{n^3} \big) )$$

���Τ��Ȥϡ��¤ϡ� $[0,1]\cap$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��Ĺ�������¤�ͭ�¤γ���֤��½���� ʤ���뤳�Ȥ�ɽ���Ƥ��롣