代数学II要約 No.14

今日のテーマ:

◎完全系列

定義 14.1   環 $A$ と、 $A$ -加群 $L,M,N$ が与えられているとする。 このとき、

1. $A$ -加群の準同型 $f,g$ を並べた「系列」
   $$L\overset{f}{\to} M \overset{g}{\to} N$$
   が完全系列(exact sequence)であるとは、 $\operatorname{Image}(f)=\operatorname{Ker}(g)$ である時にいう。
2. もっと長い $A$ -加群の「系列」
   $$\to M_{i}\overset{f_i}{\to} M_{i+1}\overset{f_{i+1}}{\to} M_{i+2}\to$$
   についても、これが完全系列(exact sequence)であるということを $\operatorname{Image}(f_i)=\operatorname{Ker}(f_{i+1})$ が成り立つことで定義する。

補題 14.2   環 $A$ 上の任意の $A$ -加群 $L,M$ とその間の準同型 $f$ にたいし、

1. $0\to L \overset{f}{\to} M$ が完全 ${\Leftrightarrow}$ $f$ が単射。
2. $L \overset{f}{\to} M \to 0$ が完全 ${\Leftrightarrow}$ $f$ が全射。

定義 14.3  

$$0\to L \to M \to N \to 0$$

の形の完全列を短完全列とよぶ。

補題 14.4   $A$ -加群の 短完全列

$$0\to L \overset{f}{\to} M \overset{g}{\to} N \to 0$$ (*)

について、次は同値である。

1. $A$ -準同型写像 $\nu:N\to M$ で、 $g\circ \nu={\operatorname{id}}$ を 満たすものが存在する。 (このような $\nu$ のことを $g$ の section と呼ぶ。
2. $M$ の部分加群 $K$ で $M=f(L) \oplus K$ を満たすものが存在する。

3. $A$ -準同型写像 $\mu:M\to L$ で、 $\mu \circ f={\operatorname{id}}$ を 満たすものが存在する。 (このような $\mu$ のことを $f$ の section と呼ぶ。

定義 14.5   上の補題の仮定のもとで、(1)-(3)のうちひとつ(したがって、全部)の条件が 成り立つとき、(*) は分裂する(split) という。

線形代数学の知識ですぐわかるように、体上の 短完全列は必ず分解する。 他方、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -加群の完全列

$$0\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\overset{\times 3}{\to} {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to 0$$

は分裂しない。(体以外の)大抵の環 $A$ に対しては、このように分裂しない短完全列が 存在するのだが、下記のような例外もある。

定理 14.6 (マシュケの定理(を加群の言葉で述べたもの))   体 $k$ と有限群 $G$ が与えられていて、$G$ の位数 $g$ と $k$ の標数 $p$ とは 互いに素であると仮定する。このとき、$k[G]$ -加群の短完全列($A=k[G]$ のときの (*)) は必ず分裂する。

証明は $g$ の $k$ -加群としての section を $G$ の作用でもって 「 平均を取る」ことにより得られる。

問題 14.1   有限群 $G$ にたいして、 $\Psi:{\mathbb{C}}[G]\to {\mathbb{C}}$ を、 $\Psi(\sum_g a_g\cdot g)=\sum_g a_g)$ で定める。

1. $\Psi$ は ${\mathbb{C}}[G]$ -加群の準同型であることを示しなさい。ただし、 ${\mathbb{C}}$ には $G$ は自明に作用する (すなわち、 $g.c=c \qquad \forall g\in G \forall c\in {\mathbb{C}})$ ) ものとする。
2. $\Psi$ の核 を $K$ と置く。このとき、 ${\mathbb{C}}[G]$ -加群の短完全列

   $$0\to K {\to} {\mathbb{C}}[G] \overset{\Psi}{\to} {\mathbb{C}}\to 0$$ (**)

   
   
   の分裂を与えるような $\Psi$ の section $\sigma: {\mathbb{C}}\to {\mathbb{C}}[G]$ をひとつ与えよ。 (わかりにくい場合には $G=C_3$ の場合のみに解答を書いても良い)