�����II���� No.13

�����Υơ���:

��� 13.1   �� $A$ �ȡ� $A$ -�÷� $L,M,N$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���

1. $A$ -�÷��ν�Ʊ�� $f,g$ ���¤٤��ַ����
   $$L\overset{f}{\to} M \overset{g}{\to} N$$
   ����������(exact sequence)�Ǥ���Ȥϡ� $\operatorname{Image}(f)=\operatorname{Ker}(g)$ �Ǥ�����ˤ�����
2. ��ä�Ĺ�� $A$ -�÷��Ρַ����
   $$\to M_{i}\overset{f_i}{\to} M_{i+1}\overset{f_{i+1}}{\to} M_{i+2}\to$$
   �ˤĤ��Ƥ⡢���줬��������(exact sequence)�Ǥ���Ȥ������Ȥ� $\operatorname{Image}(f_i)=\operatorname{Ker}(f_{i+1})$ ������Ω�Ĥ��Ȥ�������롣

���� 13.2   �� $A$ ���Ǥ�դ� $A$ -�÷� $L,M$ �Ȥ��δ֤ν�Ʊ�� $f$ �ˤ�������

1. $0\to L \overset{f}{\to} M$ ������ ${\Leftrightarrow}$ $f$ ��ñ�͡�
2. $L \overset{f}{\to} M \to 0$ ������ ${\Leftrightarrow}$ $f$ �����͡�

��� 13.3  

$$0\to L \to M \to N \to 0$$

�η��δ������û�������Ȥ�֡�

���� 13.4   $A$ -�÷��� û������

$$0\to L \overset{f}{\to} M \overset{g}{\to} N \to 0$$ (*)

�ˤĤ��ơ�����Ʊ�ͤǤ��롣

1. $A$ -��Ʊ������ $\nu:N\to M$ �ǡ� $g\circ \nu={\operatorname{id}}$ �� ��������Τ�¸�ߤ��롣 (���Τ褦�� $\nu$ �Τ��Ȥ� $g$ �� section �ȸƤ֡�
2. $M$ ����ʬ�÷� $K$ �� $M=f(L) \oplus K$ ����������Τ�¸�ߤ��롣

3. $A$ -��Ʊ������ $\mu:M\to L$ �ǡ� $\mu \circ f={\operatorname{id}}$ �� ��������Τ�¸�ߤ��롣 (���Τ褦�� $\mu$ �Τ��Ȥ� $f$ �� section �ȸƤ֡�

��� 13.5   �������β���Τ�Ȥǡ�(1)-(3)�Τ����ҤȤ�(�������äơ�����)�ξ�郎 ����Ω�ĤȤ���(*) ��ʬ������(split) �Ȥ�����

��������ؤ��μ��Ǥ����狼��褦�ˡ��ξ�� û�������ɬ��ʬ�򤹤롣 ¾���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -�÷��δ�����

$$0\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\overset{\times 3}{\to} {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to 0$$

��ʬ�����ʤ���(�ΰʳ���)����δ� $A$ ���Ф��Ƥϡ����Τ褦��ʬ�����ʤ�û������ ¸�ߤ���Τ����������Τ褦���㳰�⤢�롣

���� 13.6 (�ޥ��奱������(��÷��θ��դǽҤ٤����))   �� $k$ ��ͭ�·� $G$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ�$G$ �ΰ̿� $g$ �� $k$ ��ɸ�� $p$ �Ȥ� �ߤ����ǤǤ���Ȳ��ꤹ�롣���ΤȤ���$k[G]$ -�÷���û������($A=k[G]$ �ΤȤ��� (*)) ��ɬ��ʬ�����롣

������ $g$ �� $k$ -�÷��Ȥ��Ƥ� section �� $G$ �κ��ѤǤ�ä� �� ʿ�Ѥ���פ��Ȥˤ�������롣

���� 13.1   ͭ�·� $G$ �ˤ������ơ� $\Psi:{\mathbb{C}}[G]\to {\mathbb{C}}$ �� $\Psi(\sum_g a_g\cdot g)=\sum_g a_g)$ �����롣

1. $\Psi$ �� ${\mathbb{C}}[G]$ -�÷��ν�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ������������� ${\mathbb{C}}$ �ˤ� $G$ �ϼ����˺��Ѥ��� (���ʤ���� $g.c=c \qquad \forall g\in G \forall c\in {\mathbb{C}})$ ) ��ΤȤ��롣
2. $\Psi$ �γ� �� $K$ ���֤������ΤȤ��� ${\mathbb{C}}[G]$ -�÷���û������

   $$0\to K {\to} {\mathbb{C}}[G] \overset{\Psi}{\to} {\mathbb{C}}\to 0$$ (**)

   
   
   ��ʬ����Ϳ����褦�� $\Psi$ �� section $\sigma: {\mathbb{C}}\to {\mathbb{C}}[G]$ ��ҤȤ�Ϳ���衣 (�狼��ˤ������ˤ� $G=C_3$ �ξ��Τߤ˲�����񤤤Ƥ��ɤ�)