代数学II要約 No.12

今日のテーマ:

環 $A$ と有限群 $G$ が与えられているとき、 群環 $A[G]$ が定義される。 実は、$G$ は $A[G]$ 自体の上に表現できる。 このことを、とくに $R$ が体 $K$ のときに詳しく見てみることにする。

定義 12.1   環 $A$ と群 $G$ が与えられたとき、$A$ 上の $G$ の 群環 $A[G]$ とは、 形式的な有限和の集合

$$A[G]= \left\{ \sum_{g \in G} a_g g \ ; \qquad a_g=0 \quad \forall' g \in G \right\}$$

に形式的に和、積を導入したものである。 (「 $\forall' \bullet$ 」 は「有限個の例外を除いて全ての $\bullet$ に対して」 という意味である。) 具体的には、和、積は次のように与えられる。

1. $\sum_g a_g g + \sum_g b_g g = \sum_g (a_g +b_g) g.$
2. $\sum_g a_g g \cdot \sum_g b_g g= \sum_g (\sum_h a_h b_{h^{-1}g} )g$

定義 12.2   体 $k$ が与えられているとする。群 $G$ の $k$ 上の $n$ -次線形表現 $\Phi$ とは、群準同型 $\Phi: G\to {\operatorname{GL}}_n(k)$ の ことである。

命題 12.3   群 $G$ の $k$ 上の $n$ -次線形表現 $\Phi$ が与えられたとき、 $A[G]$ の $k^n$ への作用が

$$(\sum_g a_g g). v = \sum_g a_g \Phi(g)v \qquad (v\in k^n)$$

で定まる。

$K$ 上の $G$ の $n$ -次元表現 $\Phi$ が決まると、 $K[G]$ の $V=K^n$ への作用が命題3.6 のように定まって、 $V$ は $K[G]$ -加群の構造を持つ。逆に、$K$ -上有限次元の $K[G]$ -加群 $V_1$ が与えられれば、(すなわち、$K$ -ベクトル空間 $V_1$ 上に $G$ の作用が定まっていれば、) その基底を固定することにより、$G$ の表現が定まることが 容易に分かる。 行列を書くよりもその方が簡明であることが多いので、 以下では多くの場合 $K[G]$ の作用でもって表現を定義する。

補題 12.4   有限群 $G$ と体 $K$ が与えられているとする。$K[G]$ 自身は $K[G]$ 上の左加群と みなすことができる。 この表現 $\lambda$ を $G$ の左正則表現と呼ぶ。

厳密にいえば、$G$ の元にどのように順番を付けるかによって $G$ の各元を表す行列は違ってくる。 ここでは $G$ の元の順番は適当に付けて、それを明示した上で行列で表現する ことにする。

問題 12.1   $4$ つの元の偶置換全体のなす群 $\mathfrak{A}_4$ の正則表現で、 $(1 2 3)$ および $(1 2)(3 4)$ に対応する行列を書き下しなさい。 ( $\mathfrak{A}_4$ の元の順番を明示しておくこと。)

問題 12.2   位数 $2n$ の二面体群

$$\mathbb{D}_{2n}=\langle a,b ; a^n=e, b^2=e, bab^{-1}=a^{-1}\rangle$$

の正則表現で、 $n=2,3$ の場合(できれば、もっと一般の場合も) $a,b$ に対応する行列はどのようになるか答えなさい。 (二面体群については、すでに二年生段階で習っているはずなので、本問では詳しくは 述べない。)