�����II���� No.9

��9���ܤμ��� :

����ޤǤˡ� �Ĵ�PID $A$ ���ͭ�������÷��� $A$ ��ν��÷���ľ�¤� ���뤳�Ȥ򼨤���������� $A$ �θ��Ρ��Ǹ�ʬ��פ��Ѥ��� ���ι�¤��⤦�����٤�����̣���褦��

��� 9.1   �� $A$ �ˤ������ơ�

$$Z(A)= \{z \in A; z x =x z \qquad \forall x \in A\}$$

�� $A$ ����ʬ�Ĥ�ʤ�������� $A$ ���濴�Ȥ�֡�

�Ĥ�ľ��ʬ��ˤ����Ƥϡ���Ĥδ���Ū�ʸ������פ�����̤�����

���� 9.2 (ľ��ʬ����濴Ū�ͱƤδط�)  

1. $A_1,A_2$ ��ñ�̸����ĴĤǤ���Ȥ��롣 ���ΤȤ� $A_1\times A_2$ �θ� $e_1,e_2$ �� $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ �ˤ�ä�����ȡ�$e_1,e_2$ �� $A$ ���濴��°�����ʤ����ļ��Τ��Ȥ� ����Ω�ġ�

   $$e_1^2=e_1, e_2^2=e_2, e_1+e_2=1, e_1e_2=0$$ (*)

   
   

2. $A$ ��ñ�̸����IJĴ��ĤǤ���Ȥ��롣�⤷ $A$ ���濴��°���븵 $e_1,e_2$ �ǡ� $($*$)$ ����������Τ�¸�ߤ���С� $A$ �� $A/(e_2) \times A/( e_1)$ �� Ʊ���ˤʤ롣

�������ˤ�ꡢ�Ĥ�ľ��ʬ�򤷤����Ȥ��ˤϡ� $($*$)$ �������� �� $e_1,e_2$ ��õ���Ф������Ȥ��狼�롣$e_1,e_2$ �Τ��Ȥ� (ľ��ʬ����б�����)�濴Ū�ͱ��ȸƤ֡� �ºݤˤϡ���������Τ褦�ˡ��濴Ū�ͱƤ��ĸ��Ĥ���Ф��������� ��ưŪ�˸��Ĥ��롣

���� 9.3   �� $A$ ���濴��°���븵 $e$ �����٥��� ($e^2=e$ ) �ʤ�С� $e_1=e,e_2= 1-e$ �� (*) ��ߤ�����

�Ĵ� PID $A$ �θ� $x$ ����ĤΡָߤ����Ǥʡ׸����ѤǤ���Ȥ��� ��;�� $A/A x$ ��ľ��ʬ�򤬼��Τ褦�˽񤱤롣

̿�� 9.4   $A$ ���Ĵ� PID �ǡ� $A a + A b =A$ ��ߤ����Ȥ� (�Ĥޤ� $a,b$ ���ָߤ����ǡפǤ���Ȥ�)��

1. �ĤȤ��Ƥ�Ʊ��
   $$A/A ab \cong (A /A a) \times (A/ A b)$$
   ��¸�ߤ��롣
2. ���Ʊ���Ϥޤ� $A$ -�÷��Ȥ��Ƥ�Ʊ��
   $$A/A ab \cong (A /A a) \oplus (A/ A b)$$
   �Ȥ�ߤʤ��롣

�ĤȤ��Ƥ�ľ�� $(A/A a) \times (A/ A b)$ �� $A$ -�÷��Ȥ��Ƥ� ľ�� $(A/A a )\oplus (A/A b)$ �ȤϽ���Ȥ��Ƥ�����Ʊ����ΤǤ��롣 �ֵܹ��Ǥϰ�����̤��ƽ񤯤������ʽ����Ǥ���ĤȤ�ľ�¤ε��� $\oplus$ �� �񤫤�뤳�Ȥ�¿����

�� 9.5   $m,n$ ���ߤ����Ǥ����������ΤȤ���( ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -)�÷���Ʊ��

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{$... ...mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/ n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

��¸�ߤ��롣

��ηϤ�ͭ�����������٥뷲�δ��������ˤ�꼡�ηϤ�����Ω�Ĥ��Ȥ��狼�롣

�� 9.6   Ǥ�դ�ͭ�����������٥뷲�ϡ��Ĥ��η��Υ����٥뷲�δ��Ĥ���ľ�¤�Ʊ���Ǥ��롣

1. ̵�½�� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p^n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$         ($p$ ���ǿ��� $n$ ������������)

Ʊ�ͤˤ��ơ�����̿�꤬����Ω�Ĥ��Ȥ��狼�롣 (���̤ˡ��Ĵ� PID �θ����Ф��Ƥ��ǰ���ʬ�򤬰��Ū��¸�ߤ��� �Ȥ������Ȥ����դ��Ƥ�����)

̿�� 9.7   �Ĵ� PID $A$ ���Ф��ơ�ͭ�����������٥� $A$ �÷��ϡ� �Ĥ��η��� $A$ -�÷��δ��Ĥ���ľ�¤�Ʊ���Ǥ��롣

1. $A$ ����(�� $A$ �÷��Ȥߤ���Ρ�)
2. $A/p^n A$         ($p$ �� $A$ ���Ǹ��� $n$ ������������)

���̤ˡ��� $A$ ���濴Ū�ͱ� $e$ ��¸�ߤ���ȡ�$A$ ��β÷��⼡�Τ褦��ʬ�������롣

̿�� 9.8   �� $A$ ���濴Ū�ͱ� $e$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $e M, (1-e) M$ �� $M$ �� $A$ -��ʬ�÷��Ǥ��롣
2. $M$ �� $A$ -�÷��Ȥ���ľ�¤�ʬ�򤵤��: $M\cong e M \oplus (1-e) M$ .

���� 9.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ȥ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -�÷��Ȥ���Ʊ���ǤϤʤ����Ȥ� �����ʤ�����