代数学II要約 No.5

第5回目の主題 :

◎有限生成加群 (再掲)

定義 5.1   $A$ -加群 $M$ が有限個の元で生成されるとき、 $M$ を $A$ 上の有限生成加群と呼ぶ。

例 5.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ は 有限生成 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ -加群だが、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -加群としては有限生成ではない。

補題 5.3   $A$ -加群 $M$ が有限個の元 $m_1,m_2,\dots, m_s$ で生成されるとき、

1. 写像
   $$\varphi: A^s \ni \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_s \end{pmatrix}\mapsto \sum_{i=1}^s a_i m_i$$
   は $A$ -加群の全射準同型である。
2. $M \cong A^s /\operatorname{Ker}(\varphi)$ .

** 一般に、$M$ の $A$ -加群としての生成元 $\{ m_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ を とれば、全射 $A$ -準同型

$$\varphi: A^{\oplus \Lambda } \ni (a_\lambda )_{\lambda \in \Lambda} \mapsto \sum_\lambda a_\lambda m_\lambda$$

が定義されて、$M$ は自由加群の剰余加群として表現されることが分かる。 **

自由加群から一般の加群への準同型は次のように「生成元の行き先」で定まる。

命題 5.4   環 $A$ 上の加群 $M$ にたいして、

1. $M$ の元 $m_1,m_2,\dots,m_k$ が与えられたとき、 $A^{\oplus k}$ から $M$ への $A$ -準同型 $\varphi$ が
   $$\varphi( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}) =\sum_{j=1}^k {a_j. m_j}$$
   により定まる。
2. $A^{\oplus k}$ から $M$ への $A$ -準同型は、上のような 形のものに限る。

系 5.5   環 $A$ 上の加群 $M$ にたいして、 $M$ が $k$ 個の元 $\{m_1,m_2,\dots,m_k\}$ で生成されるならば、

1. 上記の命題のようにして全射 $A$ -準同型 $\psi :A^{\oplus k} \to M$ が定まる。
2. さらに、 $\operatorname{Ker}(\psi)$ も有限個の元で生成されるならば、 適当な $A$ 準同型
   $$f: A^{\oplus {k'}} \to A^{\oplus {k}}$$
   があって、$M$ は $f$ の余核 $A^{\oplus k}/\operatorname{Image}(f)$ と同型になる。 (このような $M$ のことを有限表示をもつ $A$ 加群という。)

うえのことは、$M$ が適当な有限性の条件を満足すれば(つまり、有限表示を持てば)、 $M$ は 上のような準同型の余核として得られることを示している。

命題 5.6   $A$ は可換環であるとする。このとき、 $A^{\oplus k}$ から $A^{\oplus l}$ への任意の $A$ -準同型 $\varphi$ は、

$$\varphi( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmat... ...}}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}$$

と書ける。

例 5.7   $A$ -加群 $M$ が 一つの元で生成されている場合、 $A$ の左イデアル $J$ があって、 $M\cong A/J$ となる。 さらに、$A$ が可換で、かつ PID であれば、$M$ は $J$ はやはり 一つの元で生成されて、 $A\overset{c\times }{\to} A$ の余核 $A/c A$ と同型になる。