代数学II要約 No.4

第4回目の主題 :

「群の準同型定理」、「環の準同型定理」については既知であろう。 $A$ -加群の準同型定理も全く同様に定式化され、証明される。 それらのもとになるのは次の考え方である。

命題 4.1 (集合の準同型定理)   集合の間の写像 $f:X\to Y$ が与えられたとする。このとき、

1. $X$ の上のクラスわけ(同値律)が、
   $$x\sim_f y \qquad {\Leftrightarrow}\qquad f(x)=f(y)$$
   により定義される。 (このクラスわけによる $x$ のクラスをここでは $[x]_f$ と書こう。)
2. $X$ を上記のクラスわけによりクラスわけしたクラスの全体を $X/\sim_f$ と 書くと、$f$ は
   $$\bar f: (X/\sim_f) \ni [x]_f \mapsto f(x) \in f(X)$$
   なる写像を誘導する。この写像は、(うまく定義されており、)全単射である。
3. $f$ は次のように全射、全単射、単射の合成に分解される。
   (自然な射影)$$VV @AA$$(自然な埋め込み)$$A \\ (X/\sim_f) @> \bar f » f(X) \end{CD}$$

定理 4.2 (加群の準同型定理)   環 $A$ と、$A$ -加群の準同型 $f:M\to N$ が与えられているとする。このとき、

1. $f$ の核 $\operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(0)$ は $M$ の $A$ -部分加群である。

   $f$ の像 $f(M)$ は $N$ の$A$ -部分加群である。

2. $f$ は、$A$ -加群の同型 $\bar f: M/\operatorname{Ker}(f) \to f(M)$ を定義する。
3. $f$ は次のように $A$ -加群の全射準同型、全単射準同型、単射準同型の 合成に分解する。
   (自然な射影)$$VV @AA$$(自然な埋め込み)

つぎのことに気をつけよう

• 単なる集合の場合に比べて加群の場合には「和、差、スカラー倍」という 構造を考慮に入れる必要がある。
• $f$ が加群の準同型のときには「 $f$ によるクラスわけ」は で完全に制御される。

問題 4.1   を $f([n]_{12})=[7 n]_{14}$ で「定義」する。 このとき

1. これはうまく定義されていて、 -加群の準同型であることをしめしなさい。
2. 次の対応表の下段を埋めなさい。(なるべく簡単な形にすること)

   $x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

3. $f$ によって はどのようにクラス分けされるか、「クラス分けの 表」を書き上げることによって示しなさい。

◎有限生成加群

定義 4.3   $A$ -加群 $M$ が有限個の元で生成されるとき、 $M$ を $A$ 上の有限生成加群と呼ぶ。

例 4.4   は 有限生成 -加群だが、 -加群としては有限生成ではない。

補題 4.5   $A$ -加群 $M$ が有限個の元 で生成されるとき、

1. 写像
   は $A$ -加群の全射準同型である。
2. .

** 一般に、$M$ の $A$ -加群としての生成元 を とれば、全射 $A$ -準同型

が定義されて、$M$ は自由加群の剰余加群として表現されることが分かる。 **