�����II���� No.2

��2���ܤμ��� :

�Ĥȡ����ξ�β÷��ˤĤ��ơ�����ϡ֥ե����ޥ�ʡ������Ҥ٤��� �ºݤˤϡ����Τ��Ȥ�來�ޤ��Ƥ���Ф���ۤɴְ㤨�뤳�ȤϤʤ���

1. �� $A$ �Ȥϡ��������­�����������������������Ǥ���褦�ʽ���Ǥ��롣
2. $A$ -�÷� $M$ �Ȥϡ��������­������������������� $A$ �θ��ˤ�����(�֥����顼�ܡ�)���Ǥ���褦�ʽ���Ǥ��롣

�� 2.1   �� $A$ ��Ϳ����줿�Ȥ����������� $n$ �ˤ������� $A$ ��� $n$ �ĽĤ��¤٤��֥٥��ȥ�פ����� $A^n$ �� $A$ -�÷��Ȥߤʤ��롣 ����Ū�ˤϡ�

1. ��
   $$% latex2html id marker 1059\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \... ..., \\ &\forall y_1,\dots \forall y_n \in A. \end{aligned}\right)$$

2. ����(�����顼��)
   $$% latex2html id marker 1061a. \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\... ... &\forall x_1,\dots \forall x_n \in A. \\ \end{aligned}\right)$$

������ $n=1$ �ΤȤ���ͤ���С�$A$ ���Ȥ� $A$ -�÷��Ȥߤʤ��뤳�Ȥ� �狼�롣

��� 2.2   ��� $A^n$ �Τ��Ȥ� $A$ ���(���� $n$ ��)��ͳ�÷��ȸƤ֡�

����Ū�ˤϡ�����˽Ҥ٤�����˹礦�褦�ʡ��¡������ѡפ��Ľ���� (���ݤ����ɤ�ʤ�ΤǤ��äƤ�)�ĤǤ��롣���ؼԤϤ��������ʴĤ�ȯ������ �ȤäƤ��롣����������ö���뽸�� $A$ ���ִĤǤ��뤳�ȡפ������å������С� $A$ �θ����¡������ѤˤĤ��Ƥ��̾�Ρֿ��פ˽स����������ǽ�ˤʤ롣 �÷��ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤǤ��롣�㤨�м��Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

���� 2.3   �� $A$ ��β÷� $M$ ���Ф��ơ��Ĥ��Τ��Ȥ��ʤꤿ�ġ�

1. $M$ �� ��������ͣ��ĤǤ��롣����� $0_M$ (�⤷����ñ�� 0 ) �Ƚ񤯡�
2. $A$ ��Ǥ�դθ� $a$ �ˤ������ơ� $a.0_M=0_M$ ���ʤꤿ�ġ�
3. $M$ �γƸ� $x$ �ˤ������ơ� $x$ ���¤˴ؤ���ո�(�ޥ��ʥ���)�� ͣ���¸�ߤ��롣����� $-x$ �Ƚ񤯤ΤǤ��ä���
4. $A$ ��Ǥ�դθ� $a$ �ȡ�$M$ ��Ǥ�դθ� $m$ �ˤ��󤷤ơ�
   $$(-a).(-m)=a.m$$
   ������Ω�ġ�

��$A$ �÷� $M$ �פ�פ��������٤�Ȥ��� �Ϥ���ϥ٥��ȥ���֤򥤥᡼�����Ƥ� �ɤ��������� ���������Ĥ��Τ��Ȥ��٥��ȥ���֤ȤϷ���Ū�˰ۤʤ롣

1. �� $A$ ���ѤϲĴ��Ȥϸ¤�ʤ��� (����� $A$ ���Ĵ��ĤǤ���褦�ʾ����ʤ�в���Ǥ��롣)

2. �� $A$ �θ��dz���Ȥϸ¤�ʤ���

�Ȥ����櫓�ǡ��÷���ؤ֤Ȥ��ˤϡ��٥��ȥ���֤�������פ��Ф��Ĥġ� �÷��ξ��ΰ㤤��ռ����ʤ���ؤ֤��ɤ���������

��������ϥ٥��ȥ���֤δ֤���������������ȹͤ����ɤ���

��� 2.4   $M_1,M_2$ �� $A$ -�÷��ΤȤ������� $f: M_1\to M_2$ �� $A$ -��Ʊ��($A$ -�÷��Ȥ��Ƥν�Ʊ��))�Ǥ���Ȥϡ� �Ĥ��ξ�郎��­�����Ȥ��˸�����

Hom1.

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

Hom2.

$f(a.x)=a.f(x)$

��� 2.5   $A$ -�÷� $M$ �ˤ������ơ� $N$ �� $M$ �� $A$ -��ʬ�÷��Ǥ���Ȥϡ� ����2��郎Ʊ������­����Ƥ���Ȥ��˸�����

SM1.

$N$ �� $M$ ����ʬ����Ǥ��롣

SM2.

$N$ �Ϥ��켫�� $A$ -�÷��ι�¤���ġ�

SM3.

��޼��� $j:N \hookrightarrow M$ �� $A$ -�÷��ν�Ʊ���Ǥ��롣

̿�� 2.6   $A$ -�÷� $M$ �� $M$ ����ʬ���� $N$ �ˤ������ơ� ����2����Ʊ�ͤǤ��롣

1. $N$ �� $M$ �� $R$ -��ʬ�÷��Ǥ��롣
2. $N$ ���¡�����$R$ �θ��ˤ����ѤˤĤ����Ĥ��Ƥ��롣

�� 2.7   $3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -��ʬ�÷��Ǥ��롣

��äȰ��̤ˡ�

��� 2.8   �� $A$ �ˤ������ơ�$A$ ���Ȥ� $A$ -�÷��Ȥߤʤ�����Τ���ʬ�÷� $J$ �� $A$ �������ǥ����ȸƤ֡��̤θ������ò¤¹¤ï¿½È¡ï¿½$A$ �κ����ǥ��� $J$ �Ȥϡ� $A$ ����ʬ����Ǥ��äơ����ξ�����������ΤΤ��ȤǤ��롣

LI1.

$0_A \in J$ .

LI2.

$x,y \in J \implies x+y\in J ,\quad x-y \in J$ .

LI3.

$a\in A, x\in J \implies a x \in J$ .

$A$ ���Ĵ��ĤΤȤ��ˤϡ������ǥ���ȥ��ǥ����Ʊ����ΤǤ��롣

��� 2.9   $R$ -�÷� $M$ �Ȥ��� $R$ -��ʬ�÷� $N$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ� $M$ �� $N$ �ˤ�뾦�÷� $M/N$ �ϼ����� $R$ -�÷��ι�¤���ġ�

���� 2.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -�÷� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -��ʬ�÷� $3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ���;�÷� $M={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��ͤ��롣 $M$ �γƸ� $x$ �� ��$11$ �dz��פ��Ȥ� �Ǥ��뤳�ȡ����ʤ����

$$\forall x\in M \exists y \in M ;\quad 11. y= x$$

�򼨤��ʤ�����