�����II���� No.1

�ֵܹ�����Ū :

�ֵܹ��Ǥϴľ�β÷��������ˤĤ��ƽҤ٤롣 �÷��ϡ֥��ǥ���פΰ��̲��Ǥ��ꡢ��-���ǥ���������������˳�ĥ������Τ� �÷��������Ǥ���ȸ��뤳�Ȥ�Ǥ��롣 �ξ�β÷��ϥ٥��ȥ���֤�Ʊ����̣�ˤʤꡢ���ΰ�̣�Dz÷��������� ��������ؤα�Ĺ�ȸ��뤳�Ȥ�Ǥ��롣

�ֵܹ��Ǥϰ���ʤ���������Ū�ˤϡ��Ĵ��� $R$ ��β÷��ϥ��ե��󥹥����� $\operatorname{Spec}(R)$ ����ؤβ÷��Ȥ��� ����졢������Ū�ʰյ����Ĥ��Ȥˤʤ롣

�����ܤμ��� :

��� 1.1   �ʲ����ιֵ��Ǥϼ��Τ褦�ʵ�����Ѥ��롣

1. $\mathbb{N}$ : 0 �ʾ���������ΤΤʤ����硣
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ : �������ΤΤʤ����硣

3. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ : ͭ�������ΤΤʤ����硣

4. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ : �¿����ΤΤʤ����硣

5. ${\mathbb{C}}$ : ʣ�ǿ����ΤΤʤ����硣

�嵭�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ȡ������� $R$ �Ȥ�������ʪ�Ǥ��롣 ���̤��뤳�ȡ�

��� 1.2   ���� $R$ ���� ��ˡ (``+'') �Ⱦ�ˡ (``$\cdot$ '')������ �ʤ����ļ����������ĤȤ���$R$ ��(ñ�̸����ķ��Ū)���ȸƤФ�롣

Ring1.

$R$ �ϲ�ˡ�ˤĤ��Ʋ�ˡ����ʤ���

Ring2.

ʬ��ˡ§������Ω�ġ����ʤ����

$$a(b+c)=ab + bc,\quad (a+b)c=ac+bc \qquad (\forall a,\forall b,\forall c\in R).$$

Ring3.

$R$ �Ͼ�ˡ�ˤĤ��Ʒ��Χ����������

Ring4.

$R$ �Ͼ�ˡ�ˤĤ���ñ�̸����ġ�

���ιֵ��Ǥϡ�ñ�˴ĤȤ����ФȤ����Ǥ�ʤ��¤�嵭�Τ褦��ñ�̸����� ���Ū�ʴĤ򤵤���ΤȤ��롣

�� $R$ �ˤ����������β�ˡ�˴ؤ���ñ�̸�(����)�� $0_R$ , ��ˡ�˴ؤ��� ñ�̸��� $1_R$ �Ƚ񤯡������Ϥ��줾�켡�ξ���������ͣ���$R$ �θ��Ǥ��롣

• $a + 0_R =a$ ,      $0_R + a =a$ $\forall a \in R$ .
• $a \cdot 1_R =a$ ,      $1_R \cdot a =a$ $\forall a \in R$ .

����ζ���Τʤ��Ȥ��ˤϡ�$0_R,1_R$ �������ñ�� $0,1$ �Ƚ񤯡�

�� $R$ �ˤ����ơ��Ѥ���˲Ĵ��Ǥ������$R$ ���Ĵ����Ǥ���ȸƤФ�롣 �Ĵ��� $R$ �ˤ����ơ�0 �ʳ��θ���ɬ��(��ˡ�˴ؤ���)�ո����ĤȤ��� $R$ �����Ǥ���ȸƤ֡�

�� 1.3   ���Τ�ΤϴĤǤ��롣

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , ${\mathbb{C}}$ .
2. �Ĵ��� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�� $R[X]$
3. �� $n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ �ˤ��������� $R$ �θ�����ʬ�ˤ�� $n$ ����������� ���� $M_n(R)$ .
4. �Ĵ��� $R$ �򤽤Υ��ǥ��� $I$ �dz�ä���;�� $R/I$ .

�� 1.4   ���Τ�ΤϴĤǤ��ʤ���

1. $\mathbb{N}$
2. $\frac{1}{2} {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{\frac{n}{2}; n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$

��� 1.5   $R$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣 ��ˡ�� $M$ �Ǥ��äơ����Τ褦�ʾ����������ֺ��ѡ�

$$R\times M\ni (r,x) \mapsto r.x \in \to M$$

��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���$M$ �� $R$ -(��)�÷��Ǥ���ȸƤ֡�

Mod1.

$(r_1 r_2). m= r_1.(r_2.m)$ $\quad (\forall r_1, \forall r_2\in R, \forall m\in M)$

Mod2.

$1.m=m$ $\quad (\forall m \in M)$

Mod3.

$(r_1+r_2).m=r_1.m+r_2.m$ $\quad (\forall r_1,\forall r_2\in R, \forall m \in M)$ .

Mod4.

$r.(m_1+m_2)=r.m_1+r.m_2$ $\quad (\forall r\in R, \forall m_1,\forall m_2 \in M)$ .

�� 1.6 (�÷�����)  

1. Ǥ�դβ÷� $M$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -�÷��ȸ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣
2. �ξ�β÷��Ȥ��ξ�Υ٥��ȥ���֤Τ��Ȥ�Ʊ���Ǥ��롣

* �÷��Ȥ��Ƥ� $M$ �μ��ʽ�Ʊ��������

$$\operatorname{End}_{\operatorname{module}}(M)$$

�ϴĤ�ʤ���$R$ �� $M$ �ؤκ��Ѥ� $R$ ���� $\operatorname{End}_{\operatorname{module}}(M)$ �ؤδĽ�Ʊ����Ʊ��뤵��롣 ���Τ褦�˹ͤ���Ȳ÷���������ɤ����ƾ�Τ褦�ˤʤ�٤�����Ǽ��������������

���� 1.1   �÷� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��β÷��ˤʤ����ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½