線形代数学概論 A No.14要約

復習 ベクトル空間の次元という量を使って、今までのことを 少し整理してみよう。

定義 14.1   ベクトル空間 $V$ の次元とは、$V$ のなかの一次独立な 元の最大個数である。$V$ の次元を $\dim(V)$ と書く。

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^d$ の基本ベクトル $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots \mathbf e_d$ は 一次独立であるから、 $\dim($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^d)\geq d$ が分かる。 逆に、つぎのことが行列の標準形の議論から分かる。

命題 14.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^d$ の $d+1$ 個以上のベクトルは必ず一次従属である。

よって、(当たり前に見えるが定義通に確かめようとすると自明ではない)つぎのことが 成り立つ。

定理 14.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^d$ の次元はちょうど $d$ である。

すでに述べたとおり(命題12.2)、正則行列の $d$ 個のベクトルは 必ず一次独立であった。

逆に、 つぎのことがわかる。

命題 14.3   $d$ 次元ベクトル空間 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^d$ の一次独立な $d$ 個のベクトル $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots, \mathbf v_d$ があったとする。 このとき、それらを並べでできる行列

$$P= (\mathbf v_1\ \mathbf v_2 \dots \mathbf v_d)$$

は正則行列である。

$d$ 次元ベクトル空間 $V=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^d$ の $d$ 個の一次独立な元を、$V$ の 基底 と呼ぶ。基底を選ぶということは、$V$ の座標をひとつ選ぶという事に 相当する。 基底という言葉を使うと、上のことは次のように整理される。

定理 14.4   $d$ 次元ベクトル空間 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^d$ の ベクトル $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots, \mathbf v_d$ が基底であることと、 それらを並べてできる行列

$$P= (\mathbf v_1\ \mathbf v_2 \dots \mathbf v_d)$$

が正則行列であることは同値である。

行列の階数という概念も、次元を用いて述べることができる。

命題 14.5   行列 $A\in M_{m,n}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ の階数とは、$A$ の列ベクトルのうち、一次独立なももの 最大個数であり、これはまた $A$ の像

$$\operatorname{Image}(A)=\{A \mathbf x \vert \mathbf x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n \}$$

の次元に等しい。

行列の両側変形による標準形は、つぎのことを教えてくれる。

定理 14.6 (次元定理)   $A\in M_{m,n}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ が決まっているとする。$A$ を $V=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ から $W=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ への線形写像と考えよう。このとき、

$$\operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Image}(A))= \dim (V)-\dim(\operatorname{Ker}(A)).$$

つぎのことが出来れば一学期合格と言えるだろう。

1. 上の定理が、どういうことを述べているか、分かる。
2. 行列の両側変形が具体的に計算できる。
3. 計算結果を上の定理と比べて解釈できる。