線形代数学概論 A No.7要約

行列 は 普通の数のように、足したり引いたり掛けたりできるのでした。 サイズに気をつけること、積が可環ではないことに注意が必要でした。

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行列のブロック区分け

行列をいくつかのブロックに分けて考えることができる。 上手に使えば計算が簡単になる。本日の問題1 を参照のこと

補題 7.1  

$$A \begin{pmatrix} B& C \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} AB& AC \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} P \\ Q \end{pmatrix}R = \begin{pmatrix} PR \\ QR \end{pmatrix}$$

補題 7.2  

$$\begin{pmatrix} P & Q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ S \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} PR\\ QS \end{pmatrix}$$

命題 7.1  

$$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P &... ...nd{pmatrix}= \begin{pmatrix} AP+ BR & AQ + BS\\ CP + DR & CQ+ DS \end{pmatrix}$$

$$F_r= \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

◎行列のべき乗、逆行列。

ブロック区分けの威力を知るために、 いくつか言葉を用意しておくことにする。 「逆行列」についてはあとでもっと組織的に研究することになる。

定義 7.1   対角成分以外が 0 で有るような正方行列

$$\begin{pmatrix} a_1 & & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\huge0}}\\ ... ...ots& 0 \\ && \dots \\ &&\dots \\ 0 & 0 & 0& \dots & a_{n} \\ \end{pmatrix}$$

のことを 対角行列という。

命題 7.2   対角行列の積は容易に計算できる。

$$\begin{pmatrix} a_1 & & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\huge0}}\\ ... ... & \\ & &\ddots & & & \\ \smash{\hbox{\huge0}}& & & &a_n b_n \end{pmatrix}.$$

とくに、

$$\begin{pmatrix}a_1 & & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\huge0}}\\ &a_... ...2^k & & & \\ & &\ddots & & & \\ \smash{\hbox{\huge0}}& & & &a_n^k \end{pmatrix}$$ (7.1)

が $k=1,2,3,\dots$ に対して成り立つ。 (一般の行列で同じようなことが成り立つとは思わないように。)

上の命題は、ブロック対角化されたような行列についても拡張される。

命題 7.3  

$$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ (7.2)

が $k=1,2,\dots,$ にたいして成り立つ。

定義 7.2   $n$ 次正方行列 $A$ に対して、同じサイズの正方行列 $B$ で、

$$AB=E_n$$    and $$\qquad BA=E_n$$

を満たすもののことを、$A$ の逆行列という。

定理 7.4   正方行列 $A$ の逆行列は一意的である。 すなわち、$A$ の逆行列は、(存在するかどうかはわからないが、)存在するとすれば 誰がいつどのように見つけてきたものでもおなじである。

定義 7.3   $A$ の逆行列が存在するとき、その逆行列を $A^{-1}$ と書く。

$A$ の逆行列が存在するとき、 $(A^{-1})^2$ , $(A^{-1})^3$ , $(A^{-1})^4$ , $\dots$ を $A^{-2},A^{-3},A^{-4} \dots$ と 書く。(ついでに、$A^0=E_n$ と書く。) 通常の数と同じように

$$A^{n+m}=A^nA^m$$

が $n,m$ の正負に関わらず 成り立つ。 $a_1,a_2,\dots, a_n$ のどれも 0 ではないならば、 (7.1) 式が $k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に対して(すなわち、 正でも負でも)なりたつ。 ( $\ref{equation:shift}$ ) 式も $k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に対して成り立つ。

問題が複数あるときにはそのどれか1問を解くこと。

問題 7.1  

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ \end{pmatrix}$$

とおく。 $A^2,A^3,A^4,\dots$ を求めよ。

問題 7.2   $A \in M_m($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$), C \in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$),$ $B \in M_{m,n}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ とする。このとき

$P=\begin{pmatrix} A & B \\ O_{n,m} & C \end{pmatrix}$ の逆行列を $A^{-1},B,C^{-1}$ を用いて求めよ。

Hint1:.

逆行列を $Q=\begin{pmatrix} X & Y \\ O_{n,m} & Z \end{pmatrix}$ と仮定して、 $PQ=E_{n+m}= \begin{pmatrix} E_m & O_{m,n} \\ O_{n,m} & E_n \end{pmatrix}$ を満たすという条件から $X,Y,Z$ を $A,B,C$ を用いて 表わせ。

Hint2:.

行列は交換可能ではないことに注意。

Hint3:.

$Q$ の候補が見つかったからと言って安心してはいけない。 必ず $PQ$ と $QP$ を計算してその結果を吟味すること。