線形代数学概論 A No.4要約

一次写像と行列。

(本講義では、係数体(スカラーの集合)としては実数体 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を扱っています。 が、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を他の体に変えてもほとんど同じことが成り立つので、余力のある人は 注意しておくとよいでしょう。)

線形空間を比較するには線形写像を用います。 線形写像とは、和と、スカラー倍を保つような写像のことでした。 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ から他のベクトル空間 $W$ への線形写像 $f$ は 基本ベクトルの行き先 $\{f($$e$ $_1),f($$e$ $_2),\dots, f($$e$ $_n)\}$ だけを決めれば定まるのでした。

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定義 4.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ への線形写像 $f$ が

$$f($$   $e$ $$_i)= \begin{pmatrix} a_{1 j}\\ a_{2 j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{pmatrix}$$

を満たすとき、$f$ は

$$A= \begin{pmatrix} a_{1 1} & a_{1 2 }& \dots& a_{1 n}\\ a_{2 1} ... ... 2 }& \dots& a_{m n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}_{i,j}$$

という数字の並びによって一意に決まる。$A$ のことを $f$ を 表現する行列 という。 (行列のサイズまで込めて言いたい時は、$(m,n)$ -行列とか $m\times n$ 行列、 はたまた $m$ 行 $n$ 列の行列と呼ぶ。) 行列 $A$ において、 $a_{ij}$ を $A$ の $(i,j)$ -成分、縦の数の並びを列、 横の数の並びを行 という。

行と列を混乱しないように覚えるには、数学のノートを思い出せば良い。 1行目、2行目、3行目etc. が第1行、第2行、第3行etc である。

命題 4.1   行列 $A$ に対して、$A$ の表現する線形写像は

   $x$ $$= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}\mapsto A$$   $x$ $$= \begin{pmatrix} a_{1 1} x_1+ a_{1 2 }x_2+ \dots+ a_{1 n} x_n ... ...2 n} x_n\\ \vdots\\ a_{m 1}x_1+ a_{m 2 }x_2+ \dots+ a_{m n} x_n \end{pmatrix}$$

で与えられる。 $A$   $x$ のことを $A$ と $x$ との積とよぶ。

見れば分かるように、線形写像(行列とベクトルの積) は定数項のない一次式で表される。したがって、線形写像のことを一次写像 と呼ぶこともある。

命題 4.2   線形写像の合成は線形写像である。

そこで、

定義 4.2   行列の積を、対応する線形写像の合成で定義する。

具体的には、

命題 4.3   $A =(a_{ij}), B=(b_{kl})$ のとき その積 $AB$ は

$$\begin{pmatrix} \sum_j \begin{pmatrix} a_{ij} b_{jk} \end{pmatrix}_{i k} \end{pmatrix}$$

により与えられる。

※レポート問題

問題 4.1   $x,y,z,l,m,n$ は実数とする。このとき

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0 & l & 1 \\ 0 &1 & m & 2 \\ 0 &0 & n & 3 \end{pmatrix}$$

を計算せよ。

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記法に関する補足。

$$\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}_{ij}$$

とは、$i,j$ 成分($i$ 行$j$ 列にある数値)が $a_{ij}$ の行列、という意味である。 サイズは状況に応じて判断するとよい。例えば $2\times 3$ 行列 (2行3列の行列)なら、

$$\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}_{ij} = \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12}& a_{13} \\ a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ \end{pmatrix}$$

という具合である。 ここでの $i$ や $j$ という変数は全くのその場しのぎの変数であって、 $(a_{ij})_{ij}$ と書いても $(a_{uv})_{uv}$ と書いても全く同じ意味になる。