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線形代数学概論 A No.3要約

\fbox{今日のテーマ} ベクトルの一次独立性(続)。一次写像。

ベクトル $ v$ $ _1,$$ v$ $ _2,\dots,$   $ v$ $ _t$ は、 その自明でない線形結合

$\displaystyle c_1$   $ v$ $\displaystyle _1+c_2$   $ v$ $\displaystyle _2+\dots+c_t$   $ v$ % latex2html id marker 1430 $\displaystyle _t \qquad(c_1,c_2,\dots, c_t \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1432 $\displaystyle , (c_1,c_2,\dots, c_t)\neq (0,0,\dots, 0)). $

が 0 に等しくなりうるとき、線形従属、 そうでないとき、線形独立であるというのでした。 線形独立性は、和とスカラー倍という線形代数らしい 言葉で語ることができる一方、それは成分で書くと連立一次方程式と 関連しているのでした。

&dotfill#dotfill;

例 3.1  

   $ v$ $\displaystyle _1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix},$$ v$ $\displaystyle _2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix},$$ v$ $\displaystyle _3= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$

とおくと、 $ v$ $ _1,$$ v$ $ _2,$$ v$ $ _3$ は一次従属である。 実際、

$\displaystyle 3$   $ v$ $\displaystyle _1 -2$   $ v$ $\displaystyle _2 -$   $ v$ $\displaystyle _3 =$0

だからである。

例 3.2  

   $ v$ $\displaystyle _1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix},$$ v$ $\displaystyle _2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix},$$ v$ $\displaystyle _3= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix},$   $ v$ $\displaystyle _4= \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ \end{pmatrix}$

とおくと、 $ v$ $ _1,$$ v$ $ _2,$$ v$ $ _3,v_4$ は一次従属である。 実際、

$\displaystyle 3$   $ v$ $\displaystyle _1 -2$   $ v$ $\displaystyle _2 -$   $ v$ $\displaystyle _3 =$0

だからである。(一般に、一次従属なベクトルのあつまりに余分なベクトルを 付け加えてもやはり一次従属である。)

上の例で、 $ v$ $ _1$   $ v$ $ _2,$$ v$ $ _3,$$ v$ $ _4$ の あいだの線形関係をカンに頼らずに求めるには、連立方程式

\begin{equation*} \left \{ \begin{aligned} &\phantom{1}c_1 \phantom{+ 0 c_2}+ 3 c_3 + 5c_4 =0\\ &2 c_1 + c_2 +4 c_3 + 6c_4=0 \end{aligned}\right . \end{equation*}

を解けば良い。

想像がつくように、二次元ベクトル空間 $ K^2$ の 3個以上のベクトルは必ず 一次従属である。このことは、一般のベクトル空間の「次元」を一次独立性を 用いて定義できる可能性を示している。 実は、ベクトル空間 $ V$ が与えられた時、その中で一次独立なベクトルの 最大数のことを $ V$ の次元というのである。

&dotfill#dotfill;

数ベクトル空間 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ と、ほかのベクトル空間を比べたくなる。 あるいは、ベクトル空間同士を比べることもあるだろう。 そのために、次のようなものを使う。

定義 3.1   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のベクトル空間 $ V,W$ が与えられているとする。$ V$ から $ W$ への 写像 $ f$ が線形写像であるとは、次のことが成り立つときにいう。

(線形写像 1).
$ f$ は和を保つ。すなわち

$\displaystyle f($$ v$ $\displaystyle _1+$   $ v$ $\displaystyle _2)=f($$ v$ $\displaystyle _1) + f($$ v$ % latex2html id marker 1626 $\displaystyle _2) \qquad (\forall v_1 \in V, \forall v_2 \in V) $

(線形写像 2).
$ f$ はスカラー倍を保つ。すなわち、

$\displaystyle f(c$   $ v$ $\displaystyle )= c f($$ v$ % latex2html id marker 1640 $\displaystyle ) \qquad (\forall v \in V, \forall c \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ) $

「線形」という言葉の由来は次の命題から分かるかもしれない。

定義 3.2 (若干間に合わせ的)  
  1. 体 $ K$ 上の線形空間 $ V$ の二点 $ v$ $ _1$ と $ v$ $ _2$ を結ぶ直線とは、$ V$ の部分集合で、

    $\displaystyle \{t$   $ v$ $\displaystyle _1 + (1-t)$   $ w$ $\displaystyle ; t \in K\} $

    なる形をしたものである。
  2. $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の線形空間 $ V$ の２つの点 $ v$ $ _1$ と $ v$ $ _2$ を 結ぶ線分とは、$ V$ の部分集合で、

    $\displaystyle \{t$   $ v$ $\displaystyle _1 + (1-t)$   $ v$ $\displaystyle _2; t \in [0,1]\} $

    なる形をしたものである。

この定義では「直線」や「線分」として $ v$ $ _1=$$ v$ $ _2$ の場合 (本来は「点」と呼ぶべきもの)を含む。そのほうが下の命題の記述が 簡潔になってラクだからだが、使用の場合にはちょっと注意が必要である。

命題 3.1   線形写像 $ f$ について、
  1. $ f$ は $ v$ $ _1,$$ v$ $ _2$ をとおる直線を $ f($$ v$ $ _1), f($$ v$ $ _2)$ をとおる直線に写す。
  2. 線形写像 $ f$ は $ v$ $ ,$$ w$ のあいだの線分を $ f($$ v$ $ ),f($$ w$ $ )$ のあいだの線分に写す。

定義 3.3   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ のベクトル

   $ e$ $\displaystyle _1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},$   $ e$ $\displaystyle _2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \dots,$   $ e$ $\displaystyle _n \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$

( $ e$ $ _i$ は第 $ i$ 成分が $ 1$ でその他の成分は 0 で あるようなベクトル)のことを基本ベクトルと呼ぶ

定理 3.2   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^n$ から他のベクトル空間 $ W$ への線形写像 $ f$ は 基本ベクトルの行き先 $ \{f($$ e$ $ _1), f($$ e$ $ _2),\dots, f($$ e$ $ _n)\}$ だけを決めれば定まる。

※レポート問題

問題 3.1   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^3$ への線形写像 $ f$ が与えられていて、

$\displaystyle f($$ e$ $\displaystyle _1)= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}, f($$ e$ $\displaystyle _2)= \begin{pmatrix} 5\\ 10\\ -10 \end{pmatrix}$

を満足するとする。このとき $ f(-$$ e$ $ _1 + 5$   $ e$ $ _2)$ を求めなさい。

問題 3.2 (下で、「図」はおおまかなもので良い。 更に、適当に顔を落書きしても良い。)  
  1. 次の 8つのベクトルを順に線分で結んで図示しなさい。(最後の $ e$ $ _2$ と $ e$ $ _1$ も結ぶこと。)

      $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$% latex2html id marker 1894 $\displaystyle _1,\quad 3$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$% latex2html id marker 1896 $\displaystyle _1 ,\quad 4$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$$\displaystyle _1+$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$% latex2html id marker 1900 $\displaystyle _2,\quad 4$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$$\displaystyle _1 +4$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$$\displaystyle _2,$    
      $\displaystyle 3$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$$\displaystyle _1 +3$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$$\displaystyle _2,$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$$\displaystyle _1 +3$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$% latex2html id marker 1913 $\displaystyle _2,\quad 4$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$$\displaystyle _2,$   $\displaystyle \mbox{\boldmath$e$}$$\displaystyle _2$    

  2. $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ への線形写像 $ f$ が与えられていて、

    $\displaystyle f($$ e$ $\displaystyle _1)=$$ e$ % latex2html id marker 1937 $\displaystyle _1,\quad f($$ e$ $\displaystyle _2)=$$ e$ $\displaystyle _1+$   $ e$ $\displaystyle _2$

    を満たすとするとき、上の図形を $ f$ で 写した先の図を書きなさい。

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2013-04-22