�����Ƚ������� No.12

��12���ܤμ��� :

���̤ˡ����� $f:X \to Y$ ��Ϳ������ȡ�$X$ �θ��� $f$ ���ͤˤ�ä� ���饹ʬ������롣

̿�� 12.1   $f:X \to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $y\in Y$ ���Ф��ơ� ${f}^{-1}(\{y\})$ �Τ��Ȥ� $X_{y}$ �� �ñ¤¯¤ï¿½ï¿½È¤Ë¤ï¿½ï¿½ï¿½È¡ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î¤ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î©ï¿½Ä¡ï¿½

1. $X$ �� $\{X_y\}_{y\in Y}$ ���½���Ǥ��롣
2. $y\in Y$ ���Ф��ơ� ${f}^{-1}(\{y\})\neq \emptyset \ {\Leftrightarrow}\ y \in f(Y)$ .
3. $X_y \cap X_{y'}\neq \emptyset \ {\Leftrightarrow}\ (y =y'$    and $y\in f(Y))$ .

$X_y$ �Τʤ��ǡ��������ʤ����Ȥˤ�ꡢ $X$ �β��ΰ�̣�ǤΥ��饹ʬ�����뤳�Ȥ��Ǥ��롣

��� 12.2   ���� $X$ ����ʬ�����² $\{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ �� $X$ �����饹ʬ�� (ʬ���Ȥ����)�Ǥ���Ȥϡ��Ĥ��Τ��Ȥ�����Ω�ĤȤ��˸�����

1. $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda =X$$ .
2. $\lambda_1,\lambda_2 \in \Lambda$ , $\lambda_1 \neq \lambda_2$ �ʤ�� $C_{\lambda_1} \cap C_{\lambda_2} =\emptyset$ .

̿�� 12.3   ���� $f:X \to Y$ ��Ϳ����줿����$f$ �� $X$ �Υ��饹ʬ����Ϳ���롣

���� 12.1   $X=\{1,2,3,\dots,31\}$ , $Y=\{0,1,2,\dots,6\}$ , $f:X \to Y$ ��

$f(x)=$ ($x$ ��$7$ �dz�ä�;��)���������Ȥ���

1. $f$ �����ͤ���������ñ�ͤ���������
2. $X$ �� $f$ �˴ؤ��륯�饹ʬ����ɽ��񤭤ʤ�����

���� 12.2   $f: X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$=Y$ ���Ф��ơ�$f$ �ˤ�륯�饹ʬ���� �ͤ�������

1. $(1,0)$ �� $(1,5)$ �Ȥ�Ʊ�����饹�����뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $(1,0)$ �� $(2,5)$ �Ȥ�Ʊ�����饹�Ǥʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $(1,0)$ ��Ʊ�����饹�ˤʤ�褦�� $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �ò¤¹¤Ù¤Æµï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
4. $X_0,X_2,X_{-1}$ ����ʤ�����

���� 12.3   $X=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2\leq 10^2\}$ , $Y=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �Ȥ����� $f: X \ni (x,y) \mapsto x \in Y$ ���Ф��ơ�$f$ �ˤ�륯�饹ʬ���� �ͤ�������

1. $f$ �����ͤ���������ñ�ͤ���������
2. $(1,0)$ �� $(1,5)$ �Ȥ�Ʊ�����饹�����뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $(1,0)$ �� $(2,5)$ �Ȥ�Ʊ�����饹�Ǥʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����
4. $(1,0)$ ��Ʊ�����饹�ˤʤ�褦�� $(a,b)\in X$ �򤹤٤Ƶ��ʤ�����
5. $X_0,X_2,X_{-1}$ ��޼����ʤ�����
6. $X_{20}$ ����ʤ�����

���� 12.4   $f: X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x^2+y^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$=Y$ ���Ф��ơ�

1. $(1,0)$ �� $(0,-1)$ �Ȥ�Ʊ�����饹�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $(1,0)$ �� $(2,5)$ �Ȥϰ㤦���饹�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $(1,0)$ ��Ʊ�����饹�ˤʤ�褦�� $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �ò¤¹¤Ù¤Æµï¿½á¡¢ �޼����ʤ�����
4. $X_2,X_0$ ����ʤ�����