�����Ƚ������� No.2

��2���ܤμ��� :

�� ����(³��)

�����ˤ����Ƥϡ�̿�꤬����Ǥ��äơ������ϴ���Ū��̿�� ����, and, or, not, $\forall$ , $\exists$ ���Ѥ��ƺ���ΤǤ����� $\forall x P(x)$ �ϡ��֤ɤ�� $x$ �ˤ������Ƥ� $P(x)$ ����Ω���롣�פȤ������ȡ� $\exists x P(x)$ �ϡ��֤��� $x$ �ˤ������� $P(x)$ ����Ω���롣�� (�ɤ줫�ҤȤĤ� $x$ �ˤĤ��� $P(x)$ ����Ω���롣) &dotfill#dotfill;

���� 2.1   ��$x> 3$ �ʤ�� $x >2$ �� ������������������ (�����ιֵ��餷����ä���̩�˽ñ¤¯¤Ê¤ï¿½: $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x >3 \implies x>2)$ ��������?)

��$P$ �ʤ�� $Q$ �פϡ�$P$ ������Ω�ĤȤ��ˤϡ�$Q$ ������Ω�Ĥ��Ȥ� ��ĥ���Ƥ��롣�Ǥ� $P$ ������Ω���ʤ��Ȥ��ˤϤɤ����������� ��������ǤϾ��˱����Ƽ�����Ĥΰ�̣���Ѥ��Ƥ��롣

1. $P$ �Ǥʤ��Ȥ��ϴ��Τ��ʤ���($P$ �����Ǥ⡢���Ǥ�ɤ���Ǥ�褤��)
2. $P$ �Ǥʤ��Ȥ��� $Q$ �Ǥʤ�(�ȸ����˸��äƤ���)��

ۣ�椵���򤱤뤿�ᡢ���ؤǤϡ֤ʤ�С�($\implies$ ) �����Ԥΰ�̣�ǤΤ��Ѥ��롣

��$P$ �ޤ��� $Q$ ��( $P$ or $Q$ )�ˤĤ��Ƥ� ����� $P$ �� $Q$ �Τɤ��餫���������Ȥ�����ĥ�Ǥ��뤬�� ��������ǤϾ��˱����Ƽ�����Ĥΰ�̣���Ѥ��Ƥ��롣

1. $P$ �� $Q$ ��ξ�������������Ȥ������
2. $P$ �� $Q$ ��ξ�����������Τ�(������)�����ʤ���

ۣ�椵���򤱤뤿�ᡢ���ؤǤϡ֤ޤ��ϡ�(or)�����Ԥΰ�̣�ǤΤ��Ѥ��롣

��������С� �����Ȥϡ����벾�� $P$ �򤪤����Ȥ��ˡ�������������§���Ѥ��� ���� $Q$ ��Ƴ���Ф����Ȥˤ�ꡢ $P \implies Q$ ��������뤳�Ȥ�¾�ʤ�ʤ���

$P$ �� $Q$ �ο����ͤ����ĤǤ���פ���Ȥ��� $P$ �� $Q$ �Ȥ� Ʊ���Ǥ���Ȥ����� $P{\Leftrightarrow}Q$ �Ƚ񤯡� ����� ��( $P \implies Q$ ) ���� ( $Q\implies P$ )�� ��Ʊ�����ȤǤ��롣

���� 2.2   $P{\Leftrightarrow}Q$ �� $(P \implies Q)$    and $(Q \implies P)$ �ο����ͤ� ���פ��뤳�Ȥò¡¢¿ï¿½ï¿½ï¿½É½ï¿½ï¿½ï¿½Ñ¤ï¿½ï¿½Æ¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

�����Ѥ��Ƥ��뤤���Ĥ��δ���Ū�ʿ�����§�⡢����ɽ���Ѥ���ľ���� Ƴ���������Ȥ��Ǥ��롣�㤨�м��Τ褦�ʶ��Ǥ��롣

���� 2.3   ̿�� $P,Q$ �ˤĤ��ơ� $(P$    and $Q) \implies P$ ����� $P \implies (P$    or $Q)$ ����Ω���뤳�Ȥò¡¢¿ï¿½ï¿½ï¿½É½ï¿½ï¿½ï¿½Ñ¤ï¿½ï¿½Æ¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��� 2.1   �����Ȥϡ� �����°����Ǥ��뤫�ݤ����Ϥä����ޤäƤ���褦�� �֥�ΡפΤ��Ĥޤ�Ǥ��롣 (ï�����Ƥ�Ϥä���Ȥɤ��餫��ʬ����Ƥ��ơ� ������ո����������ʤ��Ȥ������Ȥ�����Ǥ��롣)

��������ޤ����¿���֤˹�碌Ū�Ǥ��롣��äȸ���Ū�ˤϡ� �����Ĥ��δ���Ū�ʽ����¸�ߤ򤢤餫��������Ȥ�����ᡢ����餫�� �����Ĥ��μ�³�� �ˤ�äƺ��줿ʪ�Τ� �򽸹�ȸƤ֡�

���� $M$ �ˤ������ơ�$x$ �� $M$ ��°����Ȥ���$x$ �� $M$ ����(����) �Ǥ���Ȥ����� $x\in M$ �Ȥ��� $M \ni x$ �� �񤭡������Ǥʤ��Ȥ� $x\notin M$ �Ȥ� $M \not \ni x$ �Ƚ񤯡�

���ȤΡ�����ʬ����Ȥ��ƴޤޤ��פȤζ��̤�Ĵ���뤿�ᡢ $x\in M$ �Τ��Ȥ� �� $x$ �� $M$ �˸��Ȥ��ƴޤޤ�롣�פȤ����ɤ����򤹤뤳�Ȥ⤢�롣

����ϡ��楫�å�����˽�����Τ���դǡ����뤤�ϥꥹ�ȥ��åפ��� �񤭤������Ȥˤ��ɽ���Ǥ��롣������򸫤衣

�� 2.2 (���ؤǤ褯�Ȥ��������)  

1. �������Τν��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{\dots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots \}$ .
2. �����������Τν��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}=\{1,2,3,4,5,\dots \}$ .
3. ͭ�������Τν��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$=\{\dfrac{x}{y} \vert x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, y\neq 0\}$ .
4. �¿����Τν��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
5. ʣ�ǿ����Τν��� ${\mathbb{C}}$ .

�㤨�о��(3)�Τ褦�ˡ�$x,y$ �μ� $f(x,y)$ �ȡ� $x,y$ �� �ѿ��Ȥ���̿�� $P(x)$ �ˤ������ơ�

$$\{f(x,y) \vert P(x,y)\}$$

�ʤ뽸���ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣����� $P(x,y)$ �����Ǥ���褦�� $x,y$ ���٤Ƥ� �ȤˤĤ��ơ� $f(x,y)$ �򽸤�Ƥ�������ΰ�̣�Ǥ��롣 (���ƥܥ� $\vert$ �ΤȤ����򥻥ߥ����� $;$ �ˤ�������⤢�롣)

��ʬ��ʬ�ؤǻȤ��ֶ�֡פˤĤ��Ƥ�񤤤Ƥ�������

��� 2.3   �¿� $a,b$ ($a<b$ ) �ˤĤ��ơ����Τ褦��������롣

$$[a,b]=\{ x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a\leq x \leq b\}$$

$$(a,b]=\{ x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a< x \leq b\}$$

$$[a,b)=\{ x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a \leq x < b\}$$

$$(a,b)=\{ x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a< x < b\}$$

��Ĥν��� $A,B$ �����������Ȥ򼨤��ˤϡ� ��$x\in A$ �� �� ��$x\in B$ �� �Ȥ�Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ��������Τ���ƻ�Ǥ��롣

���� 2.4  

$$\{x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$; x^2 <4\} = (-2,2)$$

�򼨤��ʤ�����

��� 2.4   ���� $A,B$ ��

$$x \in A \implies x \in B$$

��ߤ����Ȥ���$A$ �� $B$ ����ʬ�����Ǥ���(�⤷���ϡ� $A$ �� $B$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤޤ��)�Ȥ�����

$$A \subset B$$

( $B \supset A$ �Ƚ񤯤��Ȥ⤢��) ��ɽ����

��������Ⱦ�ǽҤ٤����Ȥ��Ѥ���ȡ�

$$A = B {\Leftrightarrow} (A \subset B$$    and $$A \supset B)$$

�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롣

�����������ʬ������������äƹͤ�����ɤ���

���� 2.5   $\{ x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x > 2\} \subset \{ x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x^7 >10\}$ �ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��� 2.5   ���� $A,B$ �ˤ������ơ�

$$A\cap B=\{ x ; x \in A$$    and $$x \in B\}$$

$$A\cup B=\{ x ; x \in A$$    or $$x \in B\}$$

�򤽤줾�� $A$ �� $B$ �ζ�����ʬ�ڤ��½���Ȥ�����

$A \cap B$ �� $A$ ����å� $B$ �Ȥ���$A$ ���󥿡���������� $B$ ���ɤࡣ��$A$ ���� $B$ �� ���ɤ�ͤ⤤�뤬ʶ��路������ ���Ƥ������ۤ����ɤ���Ʊ�ͤˡ� $A \cup B$ �� $A$ ���å� $B$ �Ȥ���$A$ ��˥��� $B$ ���ɤࡣ

���Τ��Ȥ��б����������η�̤��餹����ʬ���롣

���� 2.6   Ǥ�դν��� $A,B$ ������ $A \cap B \subset A$ �� $A \subset A \cup B$ ������Ω�Ĥ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½