����� IA No.10����

���Τ��Ȥϡ����ѽ��פǤ��뤬�����Ф��ˤ��Ƥ�����

���� 10.1   $($ ����$)$ (��) $G$ �ò·²¡ï¿½$H$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£$G/H$ �˼��Τ褦�ʾ�ˡ�����Ʒ��ˤ��Ƥ�ꤿ�� ��

$$\overline{a} \overline{b} =\overline{ab}$$

���줬����ɽ���μ�꤫���ˤ�餺�����ޤ����äơ�$G/H$ ���ºݤ˷��ˤ� �뤿��ˤϡ�$H$ ��������ʬ���Ǥ������ɬ�׽�ʬ�Ǥ��롣

�ºݤˤϡ���ɬ�׽�ʬ�פΤ������ֽ�ʬ�פΤۤ����褯�Ѥ����롣���ʤ����

���� 10.2   $G$ �ò·²¡ï¿½$N$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£$G/N$ �Ͼ�������ξ�ˡ�ˤ�� ���ι�¤���ġ���

��Ʊ�������ξ����Ƚ�Ʊ�������α���

���� 10.3 (���ν�Ʊ������)   �� $G$ �����̤η� $H$ �ؤν�Ʊ������ $\varphi:G\to H$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣 ���ΤȤ�����������Ω�ġ�

1. $\varphi$ ���� $\operatorname{Image}\varphi$ �� $H$ ����ʬ���Ǥ��롣
2. $\varphi$ �γ� $N=\operatorname{Ker}\varphi$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ��롣
3. ��;�� $G/N$ �� $\operatorname{Image}\varphi$ ��Ʊ���Ǥ��롣

(��­)

����ν�Ʊ�������Υ��ơ��ȥ��ȤǤϡ� $N$ �� $G$ ����ʬ���Ǥ���Ȥ����Ҥ٤Ƥ��뤬���ºݤˤ� ������ʬ���Ǥ��롣

�����δ�:

Step1 $\varphi$ �ˤ�륯�饹ʬ���ϡ� $\operatorname{Ker}(\varphi)$ �ˤ�륯�饹ʬ���Ȱ��פ��롣

�� 10.1  

�̿� $2n$ �������η� $\Bbb D_n=\langle a,b;\ a^n=e, \ b^2=e, \ ab=ba^{-1} \rangle$ ���� $(\{\pm 1\},\times )$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f(a^k b^l)= (-1)^l \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

������ȡ���������ͽ�Ʊ�������ˤʤꡢ$f$ �γˤ� $\langle a \rangle =\{a^k;k=0,1,\dots,n-1\}$ �� ���פ��롣�椨�ˡ� $\langle a \rangle$ �� $\Bbb D_{n}$ ��������ʬ���Ǥ��ꡢ

$$\Bbb D_n /\langle a \rangle \cong \{\pm 1\}$$

����Ω���뤳�Ȥ��狼�롣

��ݡ�������

(I).

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x]_8)=[15 x]_{20}$ ��Ϳ�����Ȥ������줬���ޤ��������Ƥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f$ �����ν�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ�򼨤��ʤ�����
3. $f$ ���б�ɽ��񤤤� $f$ �ˤ�륯�饹ʬ���� $\operatorname{Ker}(f)$ �ˤ�륯�饹ʬ���˰��פ��뤳�Ȥ� �Τ���ʤ�����