1=9 1 by -1

����� IA No.9����

��Ʊ���Ȥϡ��黻���ݤļ����λ��Ǥ��롣

��� 9.1   $G$ �ò·²¡ï¿½$K$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£$K$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ���Ȥϡ� Ǥ�դ� $g\in G$ ��Ǥ�դ� $h\in K$ �Ȥ��Ф��ơ�

$$ghg^{-1}\in K$$

������Ω�ĤȤ��˸�����

���� 9.1   $($ ����$)$ $G$ �ò·²¡ï¿½$H$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£$G/H$ �˼��Τ褦�ʾ�ˡ�����Ʒ��ˤ��Ƥ�ꤿ�� ��

$$\overline{a} \overline{b} =\overline{ab}$$

���줬����ɽ���μ�꤫���ˤ�餺�����ޤ����äơ�$G/H$ ���ºݤ˷��ˤ� �뤿��ˤϡ�$H$ ��������ʬ���Ǥ������ɬ�׽�ʬ�Ǥ��롣

���� 9.2   $G$ �ò·²¡ï¿½$N$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£ï¿½ï¿½ï¿½Î¤È¤ï¿½ $G$ ����Ĥθ� $x,y$ �˴ؤ��뼡�� ��Ĥξ���Ʊ�ͤǤ��롣

(1).

���� $n\in N$ �����äơ�$xn=y$ ������Ω�ġ�

(2).

���� $m\in N$ �����äơ�$mx=y$ ������Ω�ġ�

���ʤ����������ʬ���ǥ��饹�櫓������ˤϡ� �ֺ��סֱ��פ򤢤ޤ굤�ˤ��ʤ����ɤ���

��� 9.2   $G,H$ �ò·²¤È¤ï¿½ï¿½ë¡£$G$ ���� $H$ �ؤμ��� $f:G\to H$ ������Ʊ�� �Ǥ���Ȥϡ� Ǥ�դ� $g_1,g_2\in G$ ���Ф��ơ�

$$f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2)$$

������Ω�ĤȤ��˸����� ��Ʊ�� $f$ ����ñ�ͤǤ⤢�����$f$ ��Ʊ���ȸ�����

�� 9.1   ��Ʊ������

1. Ǥ�դη� $G$ ���Ф��ơ�$G$ �ξ�ι������� ${\operatorname{id}}:G\to G$ �� $G$ ���� $G$ �ؤν�Ʊ���Ǥ��롣�������ñ�ͤǤ��뤫�顢Ʊ���Ǥ��롣
2. $n$ �����������Ȥ��롣 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ ��
   $$f(k)=nk$$
   �ˤ������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣�����Ʊ���Ǥ��롣
3. $n$ �����������Ȥ��롣 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ ��
   $$f(k)=nk$$
   ������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣����� $n>1$ �ʤ�Ʊ���ǤϤʤ���
4. $n$ �����������Ȥ��롣 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $C_n=\langle a; a^n=e \rangle$ ��
   $$f(k)=a^k$$
   ������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣�����Ʊ���ǤϤʤ���
5. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ���� $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times,\times))$ �ؤμ��� $f$ ��
   $$f(k)=2^k \qquad(k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$
   ���������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣�����Ʊ���ǤϤʤ���

�� 9.2 (��Ʊ���Ǥʤ���)  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $n\mapsto n^2$ �Ͻ�Ʊ���ǤϤʤ���
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $n\mapsto n+1$ ���Ʊ���ǤϤʤ���

����ޤǡ����ˤϱ黻���Ȥ����ǡ����Τۤ��ˡ�ñ�̸����ո���¸�ߤ�����Ū�Ǥ��� �ȸ��äƤ����������Ͻ�Ʊ���Ǽ�ưŪ����¸����롣���������Ǥ��Τ��Ȥ򼨤�����

���� 9.3   $G,H$ �ò·²¤È¤ï¿½ï¿½ë¡£$G$ ���� $H$ �ؤν�Ʊ������ $f:G\to H$ ���Ф��ơ����λ��� ����Ω�ġ�

1. $f$ ��ñ�̸���ñ�̸��ˤ��Ĥ������ʤ����
   $$f(e_G)=e_H. \quad ($$$e_G,e_H$ �Ϥ��줾�� $G.H$ ��ñ�̸�$$)$$

2. $f$ �ϵո���ո��ˤ��Ĥ������ʤ����Ǥ�դ� $G$ �θ� $g$ ���Ф��ơ�
   $$f(g^{-1})=f(g)^{-1}$$
   ������Ω�ġ�
3. Ǥ�դ����� $n$ ��Ǥ�դ� $G$ �θ� $g$ ���Ф��ơ�
   $$f(g^n)=f(g)^n$$
   ������Ω�ġ�

$\bullet$ ��Ʊ���γ�

��� 9.3   $f:G\to H$ ����Ĥη��δ֤ν�Ʊ���Ȥ��롣$f$ �γ� (kernel) �Ȥϡ�$H$ ��ñ�̸� $e_H$ �� $f$ �ε����λ��Ǥ��롣���ʤ����

$$\operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(e_H)=\{g\in G; f(g)=e_H\}$$

��Ʊ����Ĵ�٤衢�ȸ���줿��Ȥꤢ�������γˤ�Ĵ�٤롣�ˤϼ��Τ褦����������� ���ġ�

���� 9.4   $f:G\to H$ ����Ĥη��δ֤ν�Ʊ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $f$ �γ� $\operatorname{Ker}(f)$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ��롣
2. $g_1,g_2\in G$ ���Ф��ơ��� $f(g_1)=f(g_2)$ �� �� �� $g_1 \equiv g_2 \ ({\operatorname{mod}}\operatorname{Ker}(f))$ �� �Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣

��������ϤȤƤ�����Ǥ���Τǡ����󤫤�����³���ͤ��뤳�Ȥˤʤ롣 (���ϤΤ�������Ϥ��λ����ǽ�Ʊ������(NO.1 ���󻲾�) �ξ����򴰷�Ǥ���Ȧ�Ǥ��롣��Ƥ�������������)

����ݡ�������

���� 9.1   $G=\mathbb{D}_4 =\langle a,b ; a^4=e, b^2=e, bab^{-1}=a^{-1}\rangle$ �� ��ʬ�� $H=\{e,b\}$ �ˤĤ��ơ�

1. $G$ �� $\mod H$ �Ǥκ���Ʊ�ˤ�륯�饹ʬ���� ���饹ʬ����ɽ���Ѥ��ƽ񤭤ʤ�����
2. $G$ �� $\mod H$ �Ǥα���Ʊ�ˤ�륯�饹ʬ���򥯥饹ʬ����ɽ���Ѥ��ƽ񤭤ʤ����� ��������$x,y\in G$ ������Ʊ�Ǥ���Ȥϡ� $\exists h \in H$ �����äơ� $h x =y$ ������Ω�ĤȤ��ˤ�����

3. $G$ �θ� $s,t$ �ǡ��Ĥ���������Ʊ������������Τ򸫤Ĥ��ʤ�����

   ((i))

   $s \equiv a \mod H$ .

   ((ii))

   $t \equiv a^2 \mod H$ .

   ((iii))

   $s t \not \equiv a^3 \mod H$ .