����� IA No.8����

�� $G$ ����ʬ�� $H$ ��Ϳ������ȡ�$G$ ���ΤΥ��饹ʬ������ޤ�ΤǤ�����

&dotfill#dotfill;

�Է��Ρ���ʬ���ˤ�뺸��;�ླྀ��ϡ����ķ��ˤʤ뤫����

������ʬ���ˤ���;���礬���ּ����ʤ�����ǡ׷��ˤʤ�ˤϡ� ������ʬ����������ʬ���Ǥ�������ꤹ��Τ��ɤ���

���� 8.1   $G$ �ò·²¤È¤ï¿½ï¿½ï¿½$H$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£ï¿½ï¿½ï¿½Î¤È¤ï¿½ï¿½ï¿½

1. $G$ ��Ǥ�դθ� $g$ ���Ф��ơ�$g$ �� $H$ ��ˡ�Ȥ��뺸��;�� $C(g)$ ��
   $$gH=\{gh;h\in H\}$$
   �Ȱ��פ��롣
2. $C(g) \ (=gH)$ �� $H$ �Ȥϸ��θĿ�����������
3. $G$ �ΰ̿� $\vert G\vert$ ��ͭ�¤ʤ�С�$G/H$ �θ��θĿ� $\char93 (G/H)$ �� $H$ �ΰ̿� $\vert H \vert$ �ȤϤȤ��ͭ�¤ǡ�
   $$\vert G\vert=\char93 (G/H) \vert H\vert$$
   ������Ω�ġ�

��� 8.1   $G$ �ò·²¡ï¿½$K$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£$K$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ���Ȥϡ� Ǥ�դ� $g\in G$ ��Ǥ�դ� $h\in K$ �Ȥ��Ф��ơ�

$$ghg^{-1}\in K$$

������Ω�ĤȤ��˸�����

�� 8.1 (������ʬ������)  

1. �Ĵ�������ʬ����������ʬ���Ǥ��롣�äˡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ���Ϥ��٤�������ʬ���Ǥ��롣
2. ͭ�½�� $C_n$ ��Ĵ����Ǥ��뤫�顢������ʬ���Ϥ��٤�������ʬ���Ǥ��롣
3. �����η� $\Bbb D_n =\langle a,b; \quad a^n=e,\ b^2=e,\ ab=ba^{-1} \rangle$ ����ʬ�� $\langle a \rangle$ ��������ʬ���Ǥ��롣

�� 8.2 (������ʬ���Ǥʤ���)  

1. $\Bbb D_n$ ����ʬ�� $\langle b \rangle$ �� $\Bbb D_n$ ��������ʬ���ǤϤʤ���
2. $n$ ���оη� $\frak S_n$ ����ʬ�� $\frak S_{n-1}$ �� $\frak S_{n-1}$ �� ������ʬ���ǤϤʤ���

���� 8.2   $($ ����$)$ $G$ �ò·²¡ï¿½$H$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£$G/H$ �˼��Τ褦�ʾ�ˡ�����Ʒ��ˤ��Ƥ�ꤿ����

$$\overline{a} \overline{b} =\overline{ab}$$

���줬����ɽ���μ�꤫���ˤ�餺�����ޤ����äơ�$G/H$ ���ºݤ˷��ˤʤ뤿��ˤϡ�$H$ ��������ʬ���Ǥ������ɬ�׽�ʬ�Ǥ��롣

���� 8.3   $G$ �ò·²¡ï¿½$N$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£ï¿½ï¿½ï¿½Î¤È¤ï¿½ $G$ ����Ĥθ� $x,y$ �˴ؤ��뼡����Ĥξ���Ʊ�ͤǤ��롣

(1).

���� $n\in N$ �����äơ�$xn=y$ ������Ω�ġ�

(2).

���� $m\in N$ �����äơ�$mx=y$ ������Ω�ġ�

���ʤ����������ʬ���ǥ��饹�櫓������ˤϡ� �ֺ��סֱ��פ򤢤ޤ굤�ˤ��ʤ����ɤ���

ȯŸ

���� 8.4   $G$ �ò·²¤È¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î¾ï¿½ï¿½Æ±ï¿½Í´Ø·ï¿½ $\sim$ ����ޤäƤ���Ȥ��롣$G/\sim$ �� ��ˡ��

$$% latex2html id marker 684\overline{a}\overline{b} =\overl... ... (a,b\in G; \text{$\overline{a}$ Åù¤Ï $a$ Åù¤Î¥¯¥é¥¹¤òɽ¤¹¡£})$$

����᤿�������ξ�ˡ����ɽ���μ�꤫���ˤ�餺����ޤ�ʤ�С�

$$N=\{x\in G; \quad x \sim e\}$$

�� $G$ ��������ʬ���Ȥʤꡢ$a\sim b$ �� $a\equiv b \ ({\operatorname{mod}}N)$ �Ȥ�Ʊ�ͤˤʤ롣

����ݡ�������

�Ĥ��Τ�����������򤷤Ʋ򤭤ʤ����� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

$m$ �����������Ȥ��ޤ��������η�

$$\Bbb D_{5m}=\langle a,b; \quad a^{5m}=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle$$

�Ρ�$a^5$ ���������줿��ʬ������ʤ���������ˡ����줬 $\Bbb D_{5m}$ ��������ʬ���Ǥ��뤫�ɤ�����Ĵ�٤ʤ�����

(II).

$\frak S_3$ �Ρ�$(1\ 2\ 3)$ ���������줿��ʬ���򤳤��Ǥϲ��� $A$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ��ޤ���$A$ �ϡ�$\frak S_3$ ��������ʬ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ���������ˡ� $\frak S_3 /A$ �ϤɤΤ褦�ʷ��ˤʤ뤫����������ɽ��Ĥ��ä������ʤ�����

(III).

��ȯŸ�դ˵󤲤������Τ�����$N$ ��������ʬ���Ǥ���ȸ�����ʬ�ξ�����񤭤ʤ����� (�ҥ�ȡ����Υ��ƥåפγơ���������Ĥ�����ɤ����ɤ������餫�פǤϤʤ����ʤ������¾�Τ������ͤ��Ƥ���������)

• $\overline{e}$ �� $G/\sim$ ��ñ�̸��Ǥ��롣
• $a,b\in N$ �ʤ�� $ab \in N$ .(�����ӥ���$G/\sim$ �ξ�ˡ����ɽ���μ�꤫���ˤ��ʤ������顢 $\overline{a}\overline{b}=\overline{e}\overline{e}$ �Ǥʤ���Фʤ�ʤ���)
• $\overline{a}$ �� $G/\sim$ �Ǥεո��� $\overline{a^{-1}}$ �Ǥ��롣
• $a\in N$ �ʤ�� $a^{-1} \in N$ .
• $a \in G, b\in N$ �ʤ�� $aba^{-1}\in N$ .