1=6

����� IA No.6����

���Ȥϡ����ν��ޤ�Ǥ��������򤦤ޤ���������ˤϡ� Ŭ���ʡ�Ʊ���פ�Ԥ��������ʾ�礬����ΤǤ����� �롼�ӥå����塼�֤�����ʤ�˱���Ƥ��Ƥ��̤ο���·���������Ƕ��̤����ꡢ �� $n$ �ѷ���ĺ����ʣ����̾����Ϳ���ơ� $[k]_n=[l]_n$ �� $k-l$ �� $n$ ���ܿ��λ��ˤ��롣���Ǥ���

��Ʊ�ʹط���

$\bullet$ ��Ʊ�ʹط��դȡԥ��饹ʬ���դȤϰ�Ĥθ��ݤ�΢��ɽ�Ȥ���į�᤿��ΤǤ��롣

��� 6.1 (Ʊ�ʹط������)   ���� $X$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $X$ �˼��Τ褦�ʾ��������������ط��� ��$\sim$ �� ����ޤäƤ���Ȥ�����$\sim$ �� �Τ��Ȥ�Ʊ�ʹط��ȸ�����

1. Ǥ�դ� $a,b\in X$ ���Ф��ơ�$a\sim b$ ���������Ǥʤ������Ϥä���ȷ�ޤäƤ��롣
2. $a,b,c\in X$ ���� $a \sim b , b\sim c$ ���������С� $a \sim c$ ������Ω�äƤ��롣
3. Ǥ�դ� $a\in X$ ���Ф��ơ�$a\sim a$ ������Ω�äƤ��롣
4. $a,b\in X$ ����$a\sim b$ ���������С�$b\sim a$ ������Ω�äƤ��롣

�� 6.1   �Ĥ�����Ϥ��줾�� $X$ ���Ʊ�ʹط��Ǥ��롣

1. $X=\{$ʿ�̾�λ��ѷ�$\}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a$ �� $b$ �Ȥ���Ʊ��
2. $X=\{$ʿ�̾�λ��ѷ�$\}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a$ �� $b$ �Ȥ������
3. $X=\{$���ܿ�$\}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a$ �� $b$ �Ȥ�̾����Ʊ����
4. $X=\{$��������$\}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a$ �� $b$ �ȤϽ�°����زʤ�Ʊ����
5. $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a-b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

�� 6.2   ������� $X$ ���Ʊ�ʹط��ǤϤʤ���

1. $X=\{$���ܿ�$\}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a$ �� $b$ �Ȥ�ͧã�Ǥ��롣
2. $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a\leq b$ .

�����Ʊ�ʹط��������Ȥ������Ȥϡ�����Υ��饹ʬ���򤹤����Ʊ�����Ȥˤʤ롣���饹ʬ�������Τ�����ϡ����Τ褦�ˤʤ롣

��� 6.2   ���� $X$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $X$ �Υ��饹ʬ����Ϳ�����Ƥ��롢�Ȥ����Τϡ� ���Τ褦�ʾ��������� $X$ ����ʬ�����² $\{X_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��˸�����

1. $\{X_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ ���ߤ��˸���ʤ��� ���ʤ���� $\lambda_1,\lambda_2$ ���ۤʤ� $\Lambda$ �θ��ʤ�С�
   $$X_{\lambda_1} \cap X_{\lambda_2}=\emptyset$$
   ���ʤꤿ�ġ�
2. $\{X_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ �� $X$ ���Τ�ʤ���Ĥ��������ʤ����
   $$\bigcup_{\lambda\in \Lambda} X_{\lambda}=X$$
   ���ʤꤿ�ġ�(�� $X_\lambda$ �Τ��Ȥ�֥��饹�פȤ�����פȤ��Ƥ֡�

���� 6.1   ���� $X$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $X$ ���Ʊ�ʹط� $\sim$ ��Ϳ������ȡ� $X$ �Υ��饹ʬ���������Τ褦�ˤ�����ޤ롣

   $$a \sim b \ {\Leftrightarrow}\ a b .$$ (��)

   
   
   $a$ ��Ʊ�ͤʤ�Τ����Τ���ʤ� $X$ ����ʬ����� $C(a)$ �Ƚ񤯤ȡ�$X$ �Υ��饹ʬ���ϡ� $\{C(a)\}_{a\in X}$ ����Ʊ����Τ�ʤ�����ΤǤ��롣

2. �դˡ�$X$ ��Υ��饹ʬ����Ϳ�����Ƥ���Ȥ���$($ ��$)$ �ˤ�ä� $X$ ���Ʊ�ʹط�����ޤ롣

��� 6.3   ���� $X$ ���Ʊ�ʹط� $\sim$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$X$ �Υ��饹�ΰ�İ�Ĥò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½ï¿½Ä¤Î¸ï¿½ï¿½È¤ß¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½$X$ �� $\sim$ �ˤ�뾦����ȸ�����$X/\sim$ ��ɽ���� �б� $x \mapsto [x]$ ($x$ �Υ��饹) �������ʼͱ��ȸƤ֡�

�� 6.3  

1. �������� $n$ ���ĸ��ꤷ�� $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a-b \in n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �����롣 ���ξ�硢$X/\sim$ ��������⤷�� ``��ĥ�����ֹ��Ĥ���줿ĺ���ν���" ��Ʊ��뤵��롣

2. $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $a \sim b \ {\Leftrightarrow}\$ $a-b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ . ���ξ�硢$X/\sim$ �ϱ߼���Ʊ��뤵��롣

���� 6.2  

1. ���� $S$ ���齸�� $T$ �ؤμ��� $f:S\to T$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���
   $$x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)$$
   �ˤ�ꡢƱ�ʹط�����ޤꡢ$S/\sim_f$ �� $\operatorname{Image}(f)$ �Ȱ��а���б����롣
2. ���� $X$ ��Ʊ�ʹط� $\sim$ ����ޤäƤ���Ȥ������� $\pi: X \to X/\sim$ ���Ф��ƾ���б�����ޤ� $X$ ���Ʊ�ʹط� $\sim_\pi$ �� ���� $\sim$ �Ȱ��פ��롣

��ݡ�������

(I) ��������˸�����ñ�ʽ��� $X$ �Ȥ��ξ��Ʊ�ʹط� $\sim$ ����򤢤���������ˤ����� $X/\sim$ ���ɤΤ褦�ʤ�ΤǤ��뤫 �Ҥ٤衣 (��������λ����ˤ�äƤ�Ʊ�ʹط��ȸƤ٤뤫�ɤ��� ��������Τ⤢�롣���Τ褦�ʤ�ΤˤĤ��Ƥϡ��ɤ����������� �ɤΤ褦�ˤ���в������뤫��Ҥ٤뤳�ȡ�)