1=3

����� IA No.3����

���Ȥ����ν��ޤ�Ǥ������黻����������Ȥ������ȡ� �ʤĤޤꡢ�黻�ˤĤ����Ĥ��Ƥ��뤳��)�� �ֲ��⤷�ʤ��פȤ����������ε������ν��ޤ�˴ޤޤ��Ȥ����� ������ʤΤǤ�����

��ͭ�·���

$\bullet$ ���ο���ͭ�¤Ǥ���褦�ʷ���ͭ�·��ȸ�����

$\bullet$ �� $G$ �θ��θĿ���$G$ �ΰ̿��ȸ�����$\vert G\vert$ ��ɽ����

ͭ�·��ν��פ���Ȥ��ơ�ͭ���оη���ͭ�½�󷲡������η������롣

�ִ�

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}$$

�ϡ� $1,2,3,4$ �����줾����ѿȡդ��� $3,1,2,4$ �ˤʤ�� �������Ǥ��äơ������

$$a(1)=3, a(2)=1,a(3)=2,a(4)=4$$

�Ȥ����褦�ˤ�񤯡�

��Ĥ��ִ��η��(�黻)���̾�Ը�������ɡդࡣ���Ȥ��С�

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}$$

�γݤ��� $ab$ �ϡ�

$$ab= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}\begin{pmatr... ...&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 4&2&3&1 \end{pmatrix}$$

�Ĥޤꡢ�㤨�� $1$ �� $b$ �� $3$ �˲����ơ����� $a$ �� $3$ �� $4$ �˲�����Τǡ� ��̤Ȥ��� $1$ �� $ab$ �ˤ�ä� $4$ �˲����뤳�Ȥˤʤ롣

�����Ĥ��θ� $\{a_1,a_2,\dots, a_r\}$ ��緫����Ѥ����ִ������ʤ��

$$\begin{pmatrix} a_1 & a_2& \dots & a_{r-1} &a_r \\ a_2 & a_3& \dots & a_r &1 \end{pmatrix}$$

�Τ��Ȥ� ����ִ��ȸƤӡ� $(a_1,a_2,\dots a_r)$ �Ƚ�ɽ����

��� 3.1   ���� $S$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣���ΤȤ� $S$ ���� $S$ �ؤ���ñ�ͤ����Τ� �����ι����˴ؤ��Ʒ���ʤ�������� $S$ ����оη��ȸ����� ͭ�½������оη���ͭ���оη��ȸƤ֡�$n$ �Ĥθ�����ʤ� ���� $\{1,2,\dots,n\}$ �ξ���оη���$n$ �����оη��ȸƤ֡�

�פϡ�$n$ �Ĥθ� $1,\dots,n$ ���ִ����ΤΤʤ����� $n$ �����оη��Ǥ��롣

���� 3.1   $n$ �����оη��ΰ̿��� $n!$ �Ǥ��롣

�ְ�Ĥθ�������������Ƥ��ơ����ο���ͭ�¤Ǥ����󷲤� ͭ�½�󷲤Ȥ����פȤ����Τ�����Ū������ʤΤ����� �����Ǥϡ���������פ�������󤷤ˤ��ơ� �Ĥ��Τ褦�ʴ֤˹�碌��Ū������򤷤Ƥ������Ȥˤ��롣

��� 3.2   $\frak S_n$ �θ� $a$ �� $a=(1\ 2\ \dots\ n-1\ n)$ ��������롣 ���ΤȤ���

$$C_n=\{e, a, a^2,a^3,a^4,\dots, a^{-1},a^{-2},\dots\}$$

��̿�$n$ ��ͭ�½�󷲤ȸƤ֡�

����

��θ� $a$ �ˤĤ��ơ�

$$% latex2html id marker 1002a(k)= \begin{cases} k+1 &(k\neq n \text{¤Î¤È¤­}) \\ 1 &(k=n \text{¤Î¤È¤­}) \end{cases}$$

�Ƚ񤱤롣���������ʬ���򤹤��ꡢ��äȳڤ���ˡ�����롣 $n$ ����Ƥ����ơ� $1\leq k\leq n$ ���ϰϤǤϡ�$k$ �Τ����� $[k]$ �Ȥ��������Ƴ�����롣 (�ɤ� $n$ ��ͤ��Ƥ��뤫�Ϥä��ꤵ���������ˤ� $[k]_n$ �Ƚ񤯤��Ȥ⤢�롣) �Ĥ��ˡ����̤������ˤĤ��ơ��緫��ˡ�

$$[n+1]=[1], [n+2]=[2], [n+3]=[3],\dots,$$

$$[0]=[n], [-1]=[n-1],[-2]=[n-2],\dots$$

������«���롣 �㤨�С�$n=13$ �ʤ�С�

$$[14]=[1], [15]=[2], [16]=[3],\dots,$$

$$[0]=[13], [-1]=[12],[-2]=[10],\dots,$$

$$[128]=[10],[-128]=[2],$$

$[k]=[l]$ ���ɤ����ϡ� $k-l$ �� $n$ �dz���ڤ�뤫�ɤ����� Ƚ�ǤǤ��뤳�Ȥ����դ��Ƥ�������

�ʾ�Τ褦�ˤ��Ƥ����ơ� $C_n$ �� $\{[1],[2],[3],\dots,[n]\}$ ���ִ����Ȥߤʤ��ȡ�

$$a([k])=[k+1]$$

�Ƚ񤱤롣����ϰʸ�������ξ���������ͭ���Ǥ��롣

���� 3.2   ��� $C_n$ ��ͤ��� $a=(1\ 2\ \dots\ n-1\ n)$ �Ȥ����� ���ΤȤ���

1. $a^n=e$ �Ǥ��롣($e$ �Ϲ����ִ�)
2. ���� $k,l$ ���Ф��ơ�
   $$a^k=a^l$$
   ������Ω�ĤȤ������Ȥȡ�$k-l$ �� $n$ ���ܿ��Ǥ���Ȥ������ȤȤϡ� Ʊ�ͤǤ��롣
3. $C_n$ �ΰ̿��� $n$ �Ǥ��롣

�� $n$ �ѷ��򤽤켫�Ȥ˽Ťͤ��碌�����Τʤ����������η��ȸ����� ����򤳤��Ǥϼ��Τ褦��Ƴ�����롣

��� 3.3   $n$ �� $3$ �ʾ�������Ǥ���Ȥ��롣

$\frak S_n$ �Τʤ��ǡ� $a=(1\ 2\ \dots\ n-1\ n)$ �ȡ�

$$b= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n-1 & n \\ n & n-1 & n-2 & \dots & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

�Ȥ��������줿���� $\mathbb{D}_n$ �Ƚ񤭡������η��ȸ�����

����

����

$$b(k)=n-k+1$$

������Ω�ġ� ����ˡ� ��ۤɽҤ٤� $[k]$ �Ȥ���������Ѥ���ȡ�

$$b([k])=[-k+1]$$

������Ω�ġ�

���� 3.3  

1. ���� $a^n=e,b^2=e,bab^{-1}=a^{-1}$ ������Ω�ġ�
2. $a^k b a^l= a^{k-l}b$ �����Ƥ����� $k,l$ �ˤĤ�������Ω�ġ�
3. $\mathbb{D}_n$ ���
   $$e,a,a^2,a^3,\dots,a^{n-1}, b,ab,a^2b,a^3b,\dots,a^{n-1}b$$
   �� $2n$ �Ĥ��롣�äˡ� $\mathbb{D}_n$ �ΰ̿��� $2n$ �Ǥ��롣

����ݡ�������

�����椫����������ǡ���ݡ��ȤȤ�����Ф��ʤ�����

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

$a^k (b( a^l([x])))$ ����� $a^{k-l}(b([x]))$ ��׻����뤳�Ȥˤ�ꡢ ���� 5.3�� 2.��������ʤ�����