����� IA No.1����

��ش�����ɸ

���� 1.1 (���ν�Ʊ������)   �� $G$ �����̤η� $H$ �ؤν�Ʊ������ $\phi:G\to H$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣 ���ΤȤ�����������Ω�ġ�

1. $\phi$ ���� $\operatorname{Image}\phi$ �� $H$ ����ʬ���Ǥ��롣
2. $\phi$ �γ� $N=\operatorname{Ker}\phi$ �� $G$ ����ʬ���Ǥ��롣
3. ��;�� $G/N$ �� $\operatorname{Image}\phi$ ��Ʊ���Ǥ��롣

���ȤϤʤˤ���

���Ȥϡ����ν��ޤ�Ǥ��롣�롼�ӥå����塼�֤����ʤɤ��ɤ���Ǥ��롣

�����������Τ褦�ʾ����դ��롣

• ���ϡ�ɬ�������᤻�롣
• ���ò£²¤ï¿½Â³ï¿½ï¿½ï¿½Æ¹Ô¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Ç¤ï¿½ï¿½ë¡£ (��� $a,b$ ���Ф��ơ����Σ��Ĥ�³���ƹԤ����� $a$ �� $b$ �ι����ȸƤӡ� $a \circ b$ �ʤɤȽñ¤¯¡ï¿½)

�ص��塢�⤦�ҤȤġֲ��⤷�ʤ��Τ�ҤȤĤ����ȸƤ֡פȤ������ ���դ��ä��Ƥ�����

����ʻ�������:

• ����������ν��ޤ�����餫������ꤷ�Ƥ������Ȥ�����Ǥ��롣
• ���μ���ֽñ¤«¤ì¤¿ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½×¤Ë¹Ô¤ï¿½ï¿½Ð¡ï¿½ ï�Ǥ�Ʊ������¸��Ǥ��롣

���Ĥϡֹ����פΤʤ��ޤȤ��ơ��ֲä���פ��Ȥ�ֳݤ���פ��Ȥ�ͤ��뤳�Ȥ� �Ǥ��롣���������Τ��ơֱ黻�פȸƤ֤��Ȥˤ��� ����Ū�ˤ�����Ȥ������դǽ񤯤ȡ����Τ褦�ˤʤ롣

��� 1.1 (�������)   ���� $G$ �����Ǥ���Ȥϡ�

(��0)�ֱ黻�פȸƤФ����� $G\times G\ni(x,y) \mapsto x \circ y\in G$ ���������Ƥ��ơ�

���ξ����������Ȥ��˸�����

(��1).

���α黻�Ϸ��ˡ§����������

$$(x\circ y) \circ z =x \circ (y\circ z) \quad (\forall x,y,z \in G)$$

(��2).

$G$ �ˤ�ñ�̸�(���� $e$ �Ƚ񤫤��)��¸�ߤ��롣���ʤ���� ���� $G$ �θ� $e$ �����äơ�

$$e \circ x=x, \quad x \circ e=x \quad (\forall x \in G)$$

���ʤ�Ω�ġ�

(��3).

$G$ �γƸ��ˤϵո������롣���ʤ����$G$ ��Ǥ�դθ� $x$ ���Ф��ơ� $G$ �Τ��븵 $y$ ��¸�ߤ��ơ�

$$x \circ y=e,\quad y \circ x=e$$

���ʤꤿ�ġ�

��������ˤ����ơ����� $G$ ���᤿�����ǤϤɤ�ʱ黻��ͤ��Ƥ���Τ� ���ΤǤʤ��Τǡ����Τˤϡ��� $(G,\circ)$ �򷲤ȸƤ֡�

����������������Τʤ顢�ɤ�ʤ�ΤǤⷲ�Ǥ��롣 ���Τ褦�ʤ�Τ��İ������˰��äƤ��ޤ��Τ������ΰ������Ǥ��롣

�� 1.1   ���� $(G,\circ)$ �Ϥ��줾�췲�Ǥ��롣

1. $G={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $x \circ y=x+y$ . (���η��Τ��Ȥ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �β�ˡ�� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ �ȸƤ֡�)
2. $G=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\setminus \{0\}$ , $x\circ y=xy$ . ( $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �� ��ˡ�� $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^{\times} ,\times)$ �ȸƤ֡�)
3. $G={\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ , $x\circ y=xy$ .
4. �����ѷ� $\Delta$ ��ʬ���Ȥ˽Ť͹�碌���������� $\mathbb{D}_3$ .

��κǸ����ˤĤ��Ƥϡ��ִ��ˤ��ɽ�����뤳�Ȥ��Ǥ��롣 $\Delta$ ��ĺ�� $\{1,2,3\}$ ���ɤ�ĺ���˹Ԥ�����񤯤��Ȥˤ�ꡢ $\mathbb{D}_3$ �θ��򵭽ҤǤ���ΤǤ��롣

$$\mathbb{D}_3=\{ \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 1 2 3 \end{pma... ...1 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 3 2 1 \end{pmatrix}\}$$

����ִ���Ȥä�ɽ����Ȥ��С���äȴ�ñ�˵��ҤǤ��롣 �롼�ӥå����塼�֤ʤɤ�Ʊ�ͤ˼�갷���롣 �����ޤ������ߤˤ������⤷��ʤ�������ڤ˥Ρ��Ȥ˽񤤤����򰷤���Τ� �礭�������Ǥ��롣

�� 1.2   ���� $(G,\circ)$ �Ϥ��줾�췲�Ǥʤ���

1. $G=\mathbb{N}$ , $x \circ y=x+y$ .
2. $G=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $x\circ y=xy$ .
3. $G={\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ , $x \circ y=x+y$ .

$\bullet$ ���������͡�ñ�͡���ñ�ͤ�����

���� $f:X\to Y$ ����

1. ���ͤǤ���Ȥϡ��ɤ�� $Y$ �θ� $y$ ���äƤ��Ƥ⡢$f(x)=y$ �β� $x\in X$ ��¸�ߤ���Ȥ��˸���
2. ñ�ͤǤ���Ȥϡ�$x_1,x_2$ �� $X$ �ΰۤʤ���Ĥθ��ΤȤ��ˤϡ����ĤǤ� $f(x_1)\neq f(x_2)$ ���ʤ�Ω�ĤȤ��˸�����
3. ��ñ�ͤǤ���Ȥ����Τϡ����ͤǤ���ñ�ͤΤȤ��˸�����

�����Τ��Ȥ��ä��Ȥ��ˤϻϽ��� $X$ �������� $Y$ �� ���Τˤ��Ƥ������Ȥ�����Ǥ��롣

�� 1.3   �� $x$ ���Ф��Ƥ������ $x^2$ ������������ $f$ ��ͤ��롣 �Ͻ��硢������ò¤¤¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ñ¤ï¿½ï¿½Æ¤ß¤ë¤³ï¿½È¤ï¿½Í¤ï¿½ï¿½Æ¤ß¤è¤¦ï¿½ï¿½

1. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���ͤǤ�ñ�ͤǤ�ʤ���
2. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ñ�ͤǤ��뤬���ͤǤʤ���
3. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ ���ͤǤ��뤬ñ�ͤǤʤ���
4. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ ��ñ�ͤǤ��롣

$\bullet$ �ǥ�����ѽ��������

���� $A,B$ �Υǥ�����ѽ��� $A\times B$ �Ȥϡ� $A$ �θ��� $B$ �θ��Ȥ������ΤΤʤ�����Ǥ��롣���ʤ����

$$A\times B=\{(a,b);a\in A,\quad b\in B\}$$

�㤨�С�

$$\{0,1,2\} \times \{a,b\} = \{ (0,a),(0,b), (1,a),(1,b), (2,a),(2,b) \}$$

$$\{0,1\} \times \{0,1\} = \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$$

����ݡ�������

�����椫����������ǡ���ݡ��ȤȤ�����Ф��ʤ�����

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\setminus \{-100\}$ �ϲ�ˡ�˴ؤ��Ʒ���ʤ����������� ��ͳ��󤲤ƽҤ٤ʤ�����

(II).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˡ��黻 $\circ$ ��

$$x \circ y=x+y+3$$

��������롣���ΤȤ��� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\circ )$ �Ϸ��Ǥ��뤫����ͳ��Ĥ��������ʤ�����

�� http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi �ˤ��Υץ��� ���󶡤���.