線形代数学概論 A No.13要約

行列 $A$ の分解 $A=P F_{m,n}(r)Q$ は 「どのベクトルを活かすか」、「どのベクトルは潰すか」を 決めていると考えることができるのでした。 正則行列 $P$ の逆行列は $(P\quad E)$ の行基本変形で求めることが できるのでした。

&dotfill#dotfill;

連立一次方程式と基本変形(2)

両側基本変形を用いると、一次方程式の解法は大変見通しが良くなる。

$$A \mathbf v = \mathbf b$$ (あ)

において、$A$ を両側基本変形し、

$$PAQ=F(r)$$

を得たとする。 このとき、

$$PAQ Q^{-1} \mathbf v = P \mathbf b$$

$$\mathbf w =Q^{-1} \mathbf v$$

と書いてみると、 $Q \mathbf w = \mathbf v$ というふうに逆にもかけるから、これは可逆な変数変換であり、 連立方程式(あ) は

$$F(r) \mathbf w = \mathbf b'$$ (い)

を解くのと同等である。 但し、 $\mathbf b'=P \mathbf b$ .

例 13.1  

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ ... ...end{pmatrix}, \qquad \mathbf b= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$$

のときを考えよう。

$$P=\frac{1}{8} \begin{pmatrix} 8 & 0 &... ... & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

により、 $PA Q= F_{3,4}(2)$ と表せる。

$$Q^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$Q^{-1} \mathbf v= \mathbf w$$

と変数変換すれば、

$$F_{3,4}(2) \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2\\ w_3\\ w_4 \end{pmatrix} ... ...= \begin{pmatrix} b_1 \\ \frac{5 b_1-b_2}{8} \\ b_1 -2 b_2 +b_3 \end{pmatrix}$$

をとけば良いことになる。それは易しい。

◎一般逆行列。

与えられた 行列 $A \in M_{m,n}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ に対して、 $B\in M_{n,m}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ で、

$$ABA=A$$

を満たすようなものを $A$ の一般逆行列という。

例 13.2   $F_{m,n}(r)$ の一般逆行列の一つとして、 $F_{n,m}(r)$ がある。

一般逆行列は一意ではない。 が、

命題 13.1   与えられた行列 $A$ に対して、 $A$ の一般逆行列が 必ず一つは存在する。

一般逆行列を用いて連立方程式を求めることもできる。

問題 13.1  

$$P= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \e... ..., \quad Q= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

とおく。 さらに、

$$R=\frac{1}{9} \begin{pmatrix} -16 & 8 & -1 \\ 14 & -7 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$

とおく。 $A=P F_{2,3}(1) Q$ とおく。 与えられたベクトル $\mathbf b \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ に対して、 方程式 (※) $A \mathbf v = \mathbf b$ を考えよう。つぎの各問に答えなさい。

1. 行列 $RQ$ を計算せよ。
2. $P,Q$ の逆行列をそれぞれ求めなさい。
3. $\mathbf b= c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}+ c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ と書いた時、 方程式(※) が解を持つためには、$c_1,c_2$ は どのような条件を満たせばよいか。

4. $\mathbf b, c_1,c_2$ が前問の条件を満たして 方程式(※)が解を持つとき、 その解をすべて求めなさい。