線形代数学概論 A No.12要約

行列 $A$ の分解 $A=P F_{m,n}(r)Q$ は 「どのベクトルを活かすか」、「どのベクトルは潰すか」を 決めていると考えることができるのでした。 正則行列 $P$ の逆行列は $(P\quad E)$ の行基本変形で求めることが できるのでした。

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連立一次方程式と基本変形

命題 12.1   縦ベクトル $\mathbf v_1,\dots, \mathbf v_n \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ と、 これらを並べた行列 $A=( \mathbf v_1,\dots, \mathbf v_n )\in M_{m,n}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ を 考える。このとき、 $\mathbf v_1,\dots, \mathbf v_n$ が一次従属であることは、 $A \mathbf w=\mathbf 0$ を満たすような $\mathbf w \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ で、 $\mathbf 0$ とは異なるようなものが存在することである。

一般に、 $A\in M_{m,n}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ に対して $A \mathbf w=\mathbf 0$ となるような $\mathbf w$ の全体を $A$ の核といい、 $\operatorname{Ker}(A)$ で表す。 $A$ の核は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の線形部分空間であることが 容易に分かる。行列の核は行列を調べる際に基本になる。 $A$ の核を求めるのは斉次型(つまり、定数項のない)連立一次方程式

$$% latex2html id marker 957\left \{ \begin{aligned} &a_{11} x... ...{m1} x_1 + a_{m2} x_2+ \dots +a_{mn} x_n=0 \end{aligned}\right.$$

を解くのと同じことである。

命題 12.2   正則行列 $P\in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ の列ベクトルを $\mathbf p_1, \mathbf p_2, \dots,\mathbf p_n$ と書くとこれら $n$ 個のベクトルは一次独立である。

(※) 転置行列。

行列 $A=(A_{ij})_{ij} \in M_{m,n}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ の行と列をひっくり返してできる行列、 すなわち $(A_{ji})_{ij}$ のことを $A$ の転置行列といい、${}^t A$ で書き表す。 たとえば、

$${}^t \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$

などという具合。 転置行列は次の性質を持つ

$${}^t (A+B) ={}^t A + {}^t B, \quad , {}^t(c A)=c c {}^t A {}^t (CD) ={}^t D + {}^t C,$$

($A,B,C,D$ は上の式が意味を持つようなサイズの行列。$c$ はスカラー。) 転置行列を用いることにより、

$$\leftrightarrow$$ 行 列

$$\leftrightarrow$$ 行列を左から掛ける 行列を右から掛ける

$$\leftrightarrow$$ 左基本変形 右基本変形

等々がそれぞれ入れ替わる。つまり一種の対称性があって、 転置行列を考えることにより、行基本変形に関する議論を列基本変形の議論に 変換したり、その逆ができる。 これを用いると思考と鉛筆の節約ができる。たとえば、次の 系が上の命題から従う。

系 12.1   正方行列 $P$ の行ベクトルも一次独立である。

◎(非斉次)連立一次方程式 一般に、 連立方程式

$$% latex2html id marker 1000\left \{ \begin{aligned} &a_{11} ... ...1} x_1 + a_{m2} x_2+ \dots +a_{mn} x_n=b_m \end{aligned}\right.$$

を解くことを考えよう。これは、 $A=(a_{ij})$ , $\mathbf x=(x_j)$ , $\mathbf b=(b_i)$ と書けば、

$$A \mathbf x= \mathbf b$$

という方程式を解くのと同じことである。 行列 $A$ のことを上の方程式の係数行列とよぶ。$\mathbf b$ は定数項、 というわけだが、２つをまとめて、

$$(A \ \mathbf b)$$

という行列を考えると少しだけ便利である。(変数を書くのがサボれる。)この行列のことを上の方程式の 拡大係数行列と 呼ぶ。

今回は上の方程式を行基本変形のみを用いて解いてみよう。

例 12.1  

$$\left \{ \begin{aligned} &\phantom{1} x + \phantom{0}2 y + \p... ... w =b_2 \\ &9 x + 18 y +11 z +12 w = b_3 \end{aligned}\right.$$

を解いてみよう。拡大係数行列は 行基本変形を行うと、次のような具合になる。

$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \vert & b_1 \\ 5 & 10 & 7 & 8 & \v... ... & -12 & \vert& b_2-5 b_1 \\ 0& 0 & -16 & -24 &\vert& b_3 - 9 b_1 \end{pmatrix}$$

$$\to \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \vert & b_1 \\ 0 & 0 & -8 & -12 & ... ...rt& \frac{5 b_1-b_2}{8} \\ 0& 0 & 0 & 0 &\vert& b_1 - 2 b_2 + b_3 \end{pmatrix}$$

最後の行列は階段行列になっている。 行基本変形ではここらあたりまでしか変形できないが、 方程式の解を求めるにはこれでも間に合う。 すなわち、与えられた方程式は $b_1-2b_2+b_3=0$ が成り立つ場合にのみ解を持ち、 その場合の解は (「階段」の角にあたる$1$ の係数の $x,z$ を他の変数で芋づる式に 表すことにより、)

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \en... ...\\ t \\ -\frac{3}{2} u + \frac{5 b_1-b_2}{8} \\ u \end{pmatrix}\qquad (t,u \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)$$

である。

問題 12.1   連立方程式

$$\left \{ \begin{alignedat}{5} &x&+ &y&+ &z&+& & w &=1\\ -&x... ... w &=-2\\ 3&x&+ 3&y&+ 2 &z&+& & w &=1\\ \end{alignedat}\right.$$

を拡大係数行列の行基本変形を利用してとけ。