線形代数学概論 A No.9要約

行列に基本行列を右から掛けることにより、行列を 変形できるのでした。 右基本変形を駆使することで、行列の逆行列を計算できます。

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行列の基本変形

$$P_n(ij;c)= E_n+ c E_{ij} \qquad (i\neq j)$$

$$Q_n(i;c)= E_n i c \qquad(c\neq 0)$$

$$R_n(i,j)= E_n i j$$

◎右基本変形

与えられた行列 $A$ (正方行列と限らない) にたいし、 基本行列(これは正方行列)を右からいくつかかけることにより、$A$ と同じサイズの新しい行列を作ることができる。 この操作を右基本変形という。

右基本変形は、基本ベクトルの行き先をみることで理解することができる。

命題 9.1 (再)   $A$ を $m\times n$ 行列($m$ 行 $n$ 列の行列)とするとき、

1. $A P_n(i,j;c)$ は $A$ の $i$ 列の $c$ 倍を $A$ の $j$ 列に加えた行列である。
2. $A Q_n(i; c)$ は $A$ の $j$ 列を $c$ 倍した行列である。
3. $A R_n(i,j)$ は $A$ の $i$ 列と $j$ 列を入れ替えた行列である。

というわけで、これらを列基本変形とも言う。

例題 9.1   $x,y,z$ はどの２つも相異なるような実数とする。このとき、

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{pmatrix}$$

に基本変形を繰り返して $E_3$ に変形せよ。(余力があれば、 $A$ の逆行列をもとめよ。)

上の命題 9.1と同様に、 次の命題を証明することができる。

命題 9.2   $A$ を $m\times n$ 行列($m$ 行 $n$ 列の行列)とするとき、

1. $P_m(i,j;c)A$ は $A$ の $i$ 行の $c$ 倍を $A$ の $j$ 行に加えた行列である。
2. $Q_m(i; c)$ は $A$ の $j$ 行を $c$ 倍した行列である。
3. $R_m(i,j) A$ は $A$ の $i$ 行と $j$ 行を入れ替えた行列である。

(これらを行基本変形という。)

ということは覚えておくと良い。

左、右基本変形を繰り返すことにより、行列をより簡単な形にしたい。 つぎの方針が考えられる。

(方針1).

右基本変形のみを繰り返して簡単にする。

(方針2).

左基本変形のみを繰り返して簡単にする。

(方針3).

どちらもごちゃまぜに使って簡単にする。

どの方針をとっているかを意識することが大事である。

前回は、(方針1)で考えたのであった。 (方針2)は(方針1)と似たようなことになる。 今回は、(方針3)で考えてみよう。

定義 9.1   $m,n$ 行列

$$F(r)=F_{m,n}(r) = \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

を、両側基本変形の標準形の行列と呼ぶ。

命題 9.3   任意の $m,n$ 行列 $A$ は、うまく両側基本変形すれば、 両側基本変形の標準形の行列に変形できる。

いちいち「両側」と断るのは面倒なので、その内に略すことにするが、 今回は念のためつけておくことにする。

例題 9.2  

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}$$

を両側基本変形し、標準形に直しなさい。

例題 9.3  

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}$$

を両側基本変形し、標準形に直しなさい。

問題 9.1  

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

を両側基本変形し、標準形に直しなさい。