線形代数学概論 A No.6要約

行列の演算。単位行列。ゼロ行列。

行列の計算(和、差、積、スカラー倍)は普通の数を計算するのと同じように計算できる。

但し、次のことだけが通常の数と異なるので注意を要する。

1. サイズに注意。
   1. サイズの異なる行列の和や差は定義されない。
   2. $k\times l$ 行列 $A$ と $m\times n$ 行列 $B$ との積 $AB$ は $l=m$ のときのみ定義される。
2. 行列の積は可換ではない。すなわち、行列 $A$ と $B$ にたいし、 $AB$ と $BA$ は、一方が定義されるからと言って他方が定義されるとは限らないし、 仮に両方が定義されている 場合であっても $AB=BA$ とは限らない。

定義 6.1   ベクトル空間 $V$ から同じベクトル空間への線形写像を線形変換という。 行と列のサイズが同じであるような行列を正方行列という。

正の整数 $n$ にたいして、$n\times n$ 行列の全体 $M_{n,n}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ のことを、 $M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ と書く。 $M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ の元同士はは、いつでも足したり、引いたり、 掛けたりできる。

◎単位行列

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ への恒等写像 ${\operatorname{id}}_V$ は線形写像である。 対応する行列は

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots 0 \\ &\dots \\ &\dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots 1 \\ \end{pmatrix}$$

と、対角に $1$ が並ぶ行列である。これを単位行列と言い、 $E_n$ とか $1_n$ で 書き表す。

◎ゼロ行列

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の任意の元 $\mathbf v$ にたいし、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^m$ の元 $\bf0$ (ゼロベクトル) を対応する写像は線形写像である。 対応する行列は

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots 0 \\ &\dots \\ &\dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots 0 \\ \end{pmatrix}$$

と、すべての成分が 0 であるような行列である。これをゼロ行列と言い、 $O$ とか $O_{m,n}$ で 書き表す。

単位行列は $1$ の、ゼロ行列は 0 の役割を果たす。

◎行列単位

$ij$ 成分のみが $1$ で、あとはすべて 0 であるような行列のことを、 行列単位といい、$E_{ij}$ で書き表す。

$$(a_{ij})_{ij}=\sum_{i,j} a_{ij} E_{ij}$$

$$E_{ij} \mathbf e_k= \begin{cases} \mathbf e_i & \text{$j=k$ ... ...��き。} \\ \mathbf 0 & \text{それ以外の時} \end{cases}$$

◎クロネッカーのデルタ。

次のような記号を用いると便利であることが多い。 (クロネッカーのデルタ)

$$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{$i=j$ のとき。} \\ 0 & \text{それ以外の時} \end{cases}$$

これを用いると、

$$E=(\delta_{ij})_{ij}$$

$$E_{ij} \mathbf e_k= \delta_{ j k} \mathbf e_i$$

と、場合分けをいちいち書かずに済む。

問題 6.1  

1. $3\times 3$ 行列
   $$P= \begin{pmatrix} 1 & p & q \\ 0 & 1 & r \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
   を行列単位 $E_{ij}$ の線形結合として書き表しなさい。
2. 上の $P$ に対して、
   $$\begin{pmatrix} x & y & z\\ a & b & c \end{pmatrix}P$$
   を計算しなさい。