線形代数学概論 A No.2要約

抽象的ベクトル空間、ベクトル空間の部分空間。一次独立性

実数直線も、

$$W_0=\left\{ t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}; t\in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

も、「同じ形」をしている。 このような２つを同時に扱うのには、成分を見るのではなく、 和と、スカラー倍という道具のみを用いて記述することが 大事になる。例えば、成分がすべて 0 のベクトル (0 ベクトル) は $\mathbf v + \mathbf v =\mathbf v$ の解と見ることもできる。 そもそも、成分を扱ってばかりいるのではベクトルを研究する意味がない。

定義 2.1 (教科書5.1および定理1.1 )   $V$ が $K$ 上のベクトル空間であるとは、 つぎの性質を満たしているときにいう。

O.

(演算の存在) $V$ には、和と、スカラー倍 ($K$ の元による定数倍)が定義されている。

O.

($V$ は和に関して加法群である。)

1. $\forall \mathbf x, \forall \mathbf y, \forall \mathbf z \in V$ にたいし、 $(\mathbf x + \mathbf y)+\mathbf z= \mathbf x+(\mathbf y+\mathbf z)$ .
2. $\exists \mathbf 0 \in V$ があって、 $\forall x \in V$ にたいし、 $\mathbf x+\mathbf 0=\mathbf x, \quad \mathbf 0+\mathbf x=\mathbf 0$ がなりたつ。
3. $\forall \mathbf x \in V$ に対して、 $\exists \mathbf y\in V$ が存在して、 $\mathbf x+\mathbf y=\mathbf 0,\quad \mathbf y+\mathbf x=\mathbf 0$ が成り立つ。
4. $\forall \mathbf x,\mathbf y\in V$ にたいして $\mathbf x+\mathbf y=\mathbf y+\mathbf x$ が成り立つ.

O.

(スカラー倍の作用)

1. $\forall c_1,c_2 \in K \forall\mathbf x \in V$ $(c_1 c_2)\mathbf x = c_1.(c_2.\mathbf x)$ .
2. $\forall \mathbf x \in V$ $1.\mathbf x=\mathbf x$ .

O.

(和とスカラー倍の協調性)

1. $\forall c_1,c_2 \in K \forall\mathbf x \in V$ $(c_1+c_2) \mathbf x=c_1 \mathbf x +c_2\mathbf x$
2. $\forall c \in K , \forall \mathbf x,\mathbf y\in V$ $c(\mathbf x+\mathbf y) =c \mathbf x + c\mathbf y$ .

命題 2.1   ベクトル空間 $V$ にたいして、

1. $V$ の元 $\mathbf v$ で、 $\mathbf v + \mathbf v =\mathbf v$ を満たすものがただひとつ存在する。 これが $V$ のゼロ元(ゼロベクトル)である。
2. $V$ の各元 $\mathbf x$ に対して、 $0.\mathbf x =\mathbf 0$ が成り立つ。
3. $V$ の元 $\mathbf x$ に対して、 $\mathbf x+\mathbf y=\mathbf 0$ をみたす $\mathbf y$ はただひとつである。 これを $\mathbf x$ の逆ベクトルとよぶ。

定義 2.2   ベクトル空間 $V$ の部分集合で、(同じ和とスカラー倍に関して) ベクトル空間であるようなものを、$V$ の部分ベクトル空間と呼ぶ。

上述の $W_0$ も $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の部分ベクトル空間である。

定義 2.3   $V$ のベクトル $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\dots, \mathbf v_t$ が一次従属であるとは、 ある $(c_1,c_2,\dots c_t)\neq (0,0,\dots,0)$ が存在して、

$$c_1 \mathbf v_1 +c_2 \mathbf v_2 +\dots c_t \mathbf v_t=0$$

を満たすときにいう。 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots, \mathbf v_t$ が一次従属でない場合には、 一次独立であると呼ばれる。

要するに、一次従属であるとは、与えられたベクトルの間に 関係式が存在することである。 一次独立かそうでない(一次従属)か、 は和とスカラー倍のみを用いて記述されており、 成分の値については直接は言及していない。いかにも線形代数的な概念である。

例 2.1 (線形従属なベクトルの例)  

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^4$ の元を
   $$\mathbf v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\m... ...6 \end{pmatrix}, \mathbf v_3= \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8\\ 10 \end{pmatrix}$$
   で定めると、 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3$ は一次従属である。 $\mathbf v_1+\mathbf v_2=\mathbf v_3$ であるからである。

2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ の元を
   $$\mathbf v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix},\mat... ... \\ \end{pmatrix}, \mathbf v_3= \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9\\ \end{pmatrix}$$
   で定めると、 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3$ は一次従属である。 $\mathbf v_1+6 \mathbf v_2=\mathbf v_3$ であるからである。

3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の元を
   $$\mathbf v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix},\mathbf v_... ...\ 10 \\ \end{pmatrix}, \mathbf v_3= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$
   で定めると、 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3$ は一次従属である。 $5 \mathbf v_1=\mathbf v_2$ であるからである。

上のように、具体的な数ベクトルが一次従属であるか否かを調べるときには、 成分に言及する必要がある。 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3$ が一次従属であるという事は、 最後のベクトル $\mathbf v_3$ が $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ スカラー倍の和(線形結合)を用いて 書けるということにかなり近いが、最後の例のように例外も生じる。 そこで定義では最初から $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots \mathbf v_t$ に関して 対称な形で述べてあるのである。上の(2)で言えば、 $1.\mathbf v_1+6.\mathbf v_2-1.\mathbf v_3=0$ という調子である。

例 2.2  

$$\mathbf v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix},\mathbf v_2= \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$

とおくと、 $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ は一次独立である。 実際、

$$c_1 \mathbf v_1 +c_2 \mathbf v_2 =\mathbf 0$$

とすると、

$$c_1 + 5 c_2 =0, \quad 2 c_1 + c_2=0$$

で、これを解くと $c_1=0,c_2=0$ を得るからである。

線形独立性、線形従属性を判定する場合にはうえのように一次方程式に 帰着させる。下の問題も参照のこと。

※レポート問題

問題 2.1  

$$\mathbf v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},\mathbf ... ... 6 \end{pmatrix}, \mathbf v_3= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$

とおくと、 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3$ は一次独立だろうか、 それとも従属だろうか。 理由を挙げて答えなさい。