����� IA �齬���� No.8

������ʬ���ˤ���;���礬���ּ����ʤ�����ǡ׷��ˤʤ�ˤϡ�������ʬ����������ʬ ���Ǥ���Ф��������

��� 8.1   $G$ �ò·²¡ï¿½$K$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£$K$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ���Ȥϡ� Ǥ�դ� $g\in G$ ��Ǥ�դ� $h\in K$ �Ȥ��Ф��ơ�

$$ghg^{-1}\in K$$

������Ω�ĤȤ��˸����ޤ���

���� 8.1   ����� $(G,S)$ �ˤĤ��ơ�$S$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ��뤫�� ��ͳ��Ĥ��������ʤ�����

1. $G={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, S= \{0,1,2,\dots,\}$ .
2. $G={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, S=k{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\quad (k = 0,1,2, \dots)$ .
3. $G={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, S=\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
4. $G={\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$), S=\operatorname{SL}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ . ���

   $${\operatorname{GL}}_n( \mbox{${\mathbb{R}}$} )=\{A; A n \operatorname{det}(A)\neq 0 \},$$

   $$\operatorname{SL}_n( \mbox{${\mathbb{R}}$} )=\{A; A\in {\operatorname{GL}}_n( \mbox{${\mathbb{R}}$} ), \operatorname{det}A=1\}.$$

   
   
   (���󼰤ν������ϼ�ͳ���Ѥ��Ƥ褤��)

���� 8.2   3�����оη� $\frak S_3$ ����ʬ���� $\{(1),(1 2)\}$ �� $\frak S_3$ �� ��ʬ���ǤϤ��뤬��������ʬ���ǤϤʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 8.3   $\frak S_3$ ����ʬ���� $S$ �ǡ����

$$gSg^{-1}=S \quad (\forall g \in \frak S_3)$$

������������ɤ� $\frak S_3$ ��������ʬ���ǤϤʤ���Τ���� ��ĵ󤲤ʤ�����

���� 8.4   4�����оη� $\frak S_4$ ��������ʬ�� $N$ �� $(1 2)$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½Ð¡ï¿½

1. $N$ �� $(2 3), (3 4)$ �⸵�Ȥ��ƴޤळ�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $N$ �� $\frak S_4$ ���Τ˰��פ��ʤ���Фʤ�ʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 8.5   �������� $k$ ���ĸ��ꤷ�ơ� $H=k{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ȥ����ޤ��� $G={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ� $x,y,z,w$ ����

$$x\equiv y ({\operatorname{mod}} H ), z\equiv w ({\operatorname{mod}} H)$$

���������Ȥ���ȡ� $x+z \equiv y+w ({\operatorname{mod}} H)$ �ȸ����뤫�ɤ�������ͳ��Ҥ٤������ʤ�����

���� 8.6   ����ǡ�$G$ �Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ������ $\frak S_3$ ��Ȥꡢ$H$ �Ȥ��� $\{(1),(1 2)\}$ ��Ȥ�ޤ���$G$ �θ� $x,y,z,w$ ����

$$x\equiv y ({\operatorname{mod}} H ), z\equiv w ({\operatorname{mod}} H)$$

���������Ȥ���ȡ� $xz \equiv yw ({\operatorname{mod}} H)$ �ȸ����뤫�ɤ�������ͳ��Ҥ٤������ʤ�����

���� 8.7   $G$ �Ϸ��Ǥ���Ȥ���$N$ �Ϥ���������ʬ���Ǥ���Ȥ��ޤ��� $G$ �θ� $x,y,z,w$ ����

$$x\equiv y ({\operatorname{mod}} N ), z\equiv w ({\operatorname{mod}} N)$$

���������Ȥ���ȡ� $xz \equiv yw ({\operatorname{mod}} N)$ ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 8.8   $G$ �Ϸ��Ǥ���Ȥ���$N$ �Ϥ���������ʬ���Ǥ���Ȥ��ޤ��� $G$ �θ� $g$ �ˤ����������� $G/N$ �ǤΥ��饹�� $[g]$ �Ƚñ¤¯¤ï¿½ï¿½È¤Ë¤ï¿½ï¿½Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ ���ΤȤ���$G/N$ ��α黻 $\phi$ (�Ĥޤꡢ���� $G/N \times G/N \to G/N$ ) ��

$$\phi([x],[y])=[xy]$$

�����뤳�Ȥ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����(�������Ϥɤ��Ǥ����� $N$ �� $G$ ��������ʬ���ǤϤʤ���ñ�ʤ���ʬ�����Ȥɤ�������ޤ����� $N$ �� $G$ ����ʬ���Ǥ���ʤ����ˤϤɤ�������ޤ�����)

���� 8.9   ����ǡ� $(G/N, \phi)$ �Ϸ��ˤʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��� 8.2   ����Τ褦�ˡ�$G$ ������$N$ ������������ʬ���Ǥ���С�$G/N$ �ˤ� ���ι�¤������ޤ������η��Τ��Ȥ� $G$ �� $N$ �ˤ�� ��;���Ȥ����ޤ��� �ʤ���$G/N$ �α黻��ɽ������ ($+$ or $\times$ ) �ϡ� $G$ �α黻��ɽ�������Ʊ����Τ� �Ȥ���Τ����̤Ǥ���

���� 8.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/300{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ǥ�­���� $([175]+[200])+[50]$ ���ñ�ʷ��� ľ���ʤ������ޤ��� $[150]+[x]=[0]$ ���������������� $x$ ����� ��ĵ󤲤ʤ�����

���� 8.11   $G$ �ò·²¤È¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î¾ï¿½ï¿½Æ±ï¿½Í´Ø·ï¿½ $\sim$ ����ޤäƤ���Ȥ��ޤ��� $G/\sim$ �� ��ˡ��

$$% latex2html id marker 838\overline{a}\overline{b} = \over... ...(a,b\in G; \text{$\overline{a}$ Åù¤Ï $a$ Åù¤Î¥¯¥é¥¹¤òɽ¤¹¡£})$$

�����褦�Ȼפ��ޤ������ξ�ˡ����ɽ���μ�꤫���ˤ�餺�ˤ��ޤ��������� (���ʤ���� �� $a\sim x, b \sim y$ �ʤ�� ���ĤǤ� $\overline{ab}=\overline{xy}$ ������Ω�ġ�) �ʤ�С�

$$N=\{x\in G; \quad x \sim e\}$$

�� $G$ ��������ʬ���Ȥʤꡢ$a\sim b$ �� $a\equiv b ({\operatorname{mod}}N)$ �Ȥ�Ʊ�ͤˤʤ롣 �Ȥ������Ȥ򤷤ᤷ�ʤ�����

���� 8.12   �� $G$ �Ȥ���������ʬ�� $N$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��ޤ������ΤȤ��� ������Ĥ�Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. ���� $n\in N$ �����äơ�$xn=y$ �Ƚ񤱤롣
2. ���� $n\in N$ �����äơ�$nx=y$ �Ƚ񤱤롣

���� 8.13   ����ǡ���$N$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ���פȸ������� ��$N$ �� $G$ ����ʬ���Ǥ���פ��֤�������ȡ�1. �� 2. �Ȥ� Ʊ�ͤǤʤ��ʤ뤳�Ȥò¡¢¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ó¤²¤Æ¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½