����� IA�齬���� No.7

$G$ �򷲡�$H$ �򤽤���ʬ���Ȥ��롣���ΤȤ��� $G$ �ˡ����Τ褦�ˤ���Ʊ�ʹط� $\equiv_H$ ����ޤ�ޤ���

$$x\equiv_H y {\Leftrightarrow}$$   ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ $h&isin#in;H$ �����äơ�$$xh=y$$ ������Ω�ġ�

����Ʊ�ʹط��Ϸ����ˤ����ƤϤȤ��˽��פʤΤǡ� ���� $x \equiv_H y$ ������ˡ�

$$x \equiv y \quad ({\operatorname{mod}} H)$$

�Ƚ񤤤ơ� ��$x$ �� $y$ ��$H$ ��ˡ�Ȥ��ƺ���Ʊ�Ǥ���դȸ������ˤ��ޤ��� �ͤ��Ƥ��� ��ʬ�� $H$ �����ΤʤȤ��ˤϡ��� $({\operatorname{mod}} H)$ �� ��񤯤ΤϾ�ά�����ɤ��Ǥ��� $x$ �Υ��饹 $C(x)$ �� $x$ �� $H$ ��ˡ�Ȥ��뺸��;��ȸ����ޤ���

��� 7.1   ��Τ褦�˷�᤿Ʊ�ʹط� $\equiv ({\operatorname{mod}} H)$ �ˤ�� $G$ ����� $G/\equiv$ �� $G/H$ �Ƚñ¤­¡ï¿½$G$ �� $H$ �ˤ�뺸��;�ླྀ��Ȥ�����

���� 7.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ���Ȥ��ơ� $H=55{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��ͤ��ޤ��� ���ΤȤ���

$$x\equiv 12 ({\operatorname{mod}} H)$$

�Ȥʤ�褦�� $x$ �����5�������ʤ�����(�ʤ������ˤ����ο��Ф���Ǥʤ� ��ο�������뤳�ȡ�)

��� 7.2   $n$ �ĤΤ�� $1,2,3,\dots,n$ ���ִ����ΤϷ��ˤʤ�ޤ��� ����� $n$ �����оη��Ȥ�ӡ�$\frak S_n$ �Ƚñ¤­¤Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½

���� 7.2  

$$H=\{\sigma \in \frak S_3; \sigma(3)=3\}$$

���֤��ޤ���

1. $H$ �θ������ƽ񤭽Ф��ʤ�����
2. $H$ ��ˡ�Ȥ���Ʊ�ʹط��ˤ�äơ�$\frak S_3$ ���ɤΤ褦�� ���饹ʬ������뤫�����饹ʬ����ɽ��Ĥ��äƼ����ʤ�����
3. $\frak S_3$ �θ�
   $$\begin{pmatrix} 1& 2& 3 \\ i& j& k \end{pmatrix}$$
   �� $\frak S_3$ ��ñ�̸� $e$ �� $H$ ��ˡ�Ȥ���Ʊ�ʹط��� Ʊ�ͤˤʤ�ΤϤ��Ĥ���$i,j,k$ ��Ȥä� �����ʤ�����

���� 7.3   ����ǡ� $\frak S_3$ �� $\frak S _4$ �˴����ơ�

$$H=\{\sigma \in \frak S_4; \sigma(4)=4\}$$

���֤��ޤ������ΤȤ������Ʊ�ͤ�����������ʤ�����

���� 7.4   $n$ �����������Ȥ��ޤ���

$$H=\{\sigma \in \frak S_n; \sigma(n)=n\}$$

���֤��ޤ���

1. $H$ �� $\frak S_{n-1}$ ��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $\frak S_n/H$ �θ��θĿ�����ʤ�����

���� 7.5   ͭ�½�� $C_n=\langle g_1; g_1^n=e \rangle$ �ˤĤ��ƹͤ��ޤ���

1. $C_{12}$ �Ρ�$\{g_1^3\}$ �ˤ�ä������������ʬ�� $H_1$ �� ���ˤʤ뤫���������Ƶ󤲤뤳�Ȥˤ�ꤤ���ʤ�����
2. $C_{12}$ �Ρ�$\{g_1^5\}$ �ˤ�ä������������ʬ�� $H_2$ �� ���ˤʤ뤫���������Ƶ󤲤뤳�Ȥˤ�ꤤ���ʤ�����
3. $C_{12}$ �Ρ� $\{g_1^{10}\}$ �ˤ�ä������������ʬ�� $H_3$ �� ���ˤʤ뤫���������Ƶ󤲤뤳�Ȥˤ�ꤤ���ʤ�����
4. $C_{12}/H_?$ (?=1,2,3) �θ��θĿ�����ʤ�����

���� 7.6   $C_{20}=\langle g_1; g_1^{20}=e \rangle$ �Ρ� $H=\langle \{g_1^4\} \rangle$ ��ˡ�Ȥ���Ʊ�ʹط��ˤ�륯�饹ʬ���ò¡¢¥ï¿½ï¿½é¥¹Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½É½ï¿½ï¿½ �Ĥ��äƼ����ʤ�����

���� 7.7   $n,l$ �����������Ȥ��ޤ��� $C_n$ ����ʬ�� $H$ �� $H=\langle \{g_1^l\} \rangle$ �ˤ����ޤ��� ���ΤȤ���$H$ �θ��θĿ��ȡ�����;�ླྀ�� $C_n/H$ �� ���θĿ�����ʤ�����

���� 7.8   $n$ �����������Ȥ��ޤ���

$$H=\{\sigma \in \frak S_n; \sigma(n)=n$$    ���� $$\sigma(n-1)=n-1\}$$

���֤��ޤ���

1. $H$ �� $\frak S_{n-2}$ ��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $\frak S_n$ ����
   $$\begin{pmatrix} 1 &2 & 3 & \dots & n-1 & n\\ i_1&i_2&i_3&\dots&i... ...trix} 1 &2 & 3 & \dots & n-1 & n\\ j_1&j_2&j_3&\dots&j_{n-1}&j_n \end{pmatrix}$$
   �� $H$ ��ˡ�Ȥ���Ʊ�ͤʤΤϤɤ��������Ǥ�����
3. $\frak S_n/H$ �θ��θĿ�����ʤ�����

���� 7.9  

1. ${\mathbb{C}}^\times=\{z\in{\mathbb{C}}; z\neq 0\}$ �Ϥ������˴ؤ��Ʒ��ˤʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $H=\{z\in {\mathbb{C}}; \vert z\vert=1\}$ �� ${\mathbb{C}}^\times$ ����ʬ���ˤʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. ${\mathbb{C}}^\times$ �� $H$ ��ˡ�Ȥ��ƤɤΤ褦�˥��饹ʬ������뤫�� ʣ��ʿ�̤����Ѥ����������ʤ�����

���� 7.10 (��1)   $\mathfrak{S}_4$ ����ʬ���Τ�����$\{e\}$ �� $\mathfrak{S}_4$ ���� �ʳ��Τ�Τ�󤲤ʤ�������������ñ�ʤ�ʸ�����դ��ؤ���Ʊ����Τȸ��ʤ���

���� 7.11 (��1)   $\mathfrak{S}_5$ ����ʬ���Τ�����$\{e\}$ �� $\mathfrak{S}_4$ ���� �ʳ��Τ�Τ�󤲤ʤ�������������ñ�ʤ�ʸ�����դ��ؤ���Ʊ����Τȸ��ʤ���