1=5     

����� IA �齬���� No.5

�������������ʬ����

�� $G$ �ȡ�������ʬ���� $M$ �Ȥ�Ϳ�����Ƥ���Ȥ��ޤ������ΤȤ���

$\bullet$ $M$ ����������� $G$ ����ʬ���Ȥϡ� $M$ ��ޤ�Ǿ�����ʬ���Τ��ȤǤ���

$\bullet$ �äˡ�$G$ ���Ȥ� $M$ ����������� $G$ ����ʬ���Ǥ���Ȥ��� ñ�ˡ���$G$ �� $M$ ����������롣�פȤ����ޤ���

$\bullet$ ��Ĥθ�����������뷲���󷲤Ȥ����ޤ���

�������������ʬ���դ����Τ�����ϼ��Τ褦�ˤʤ�ޤ���

��� 5.1 (�������������ʬ���դ����)  

�� $G$ �Ȥ�����ʬ���� $M$ �Ȥ�Ϳ�����Ƥ���Ȥ��ޤ��� $G$ ����ʬ�� $H$ �� $M$ ����������� $G$ ����ʬ���Ǥ��� (����Ǥ� $H=\langle M \rangle$ �Ƚ�) �Ȥϡ����ξ����������Ȥ��˸����ޤ���

(0) $H$ �� $M$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ� $G$ ����ʬ���Ǥ��롣

(1) $H$ �Ͼ�ξ�� (0) ����������ΤΤ����Ǿ��Τ�ΤǤ��롣 ���ʤ�������Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

$K$ ����$M$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ� $G$ ����ʬ���Ǥ���С� $H$ �� $K$ ����ʬ���ˤʤ롣

���� 5.1   �����β�ˡ�� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ �� $\{1\}$ �ˤ�ä���������뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 5.2   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ�� $H$ �ǡ�$\{7\}$ �ˤ�ä�����������Τ� ���Ĥ��ʤ�����

���� 5.3   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ���� $M=\{-28, 49, 105\}$ ����������� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ������ʤ�����

���� 5.4   ͭ������ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ���������� ${\operatorname{GL}}(2;$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ (¨�������� $\neq 0$ �Ȥʤ� $2\times2$ -��������)����ʬ����

$$H= \left\{ \begin{pmatrix} 1 &n \\ 0 &1 \end{pmatrix}; n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}} \right \}$$

�ϡ� ${\operatorname{GL}}(2;$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ ����ʬ���Ǥ��äơ� ������� $A$ �ˤ�ꡢ $H=\langle A \rangle$ �� �ʤ�(�Ĥޤ� $H$ �� $A$ �����������)���Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 5.5   0 �ʳ���ͭ�������ΤΤʤ���ˡ�� $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^{\times},\times)$ ����ʬ���ǡ�$\{4\}$ ������������Τ���ʤ�����

���� 5.6   �¿����ΤΤʤ���ˡ�� $($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$,+)$ ����ʬ���ǡ�$\{1\}$ ������������� ���ʤ�����

���� 5.7   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ���ǡ�$105$ �� $27$ ������������� $H$ �Ȥ����ޤ��� ���ΤȤ��� $H\cap {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}=\{x\in H; x>0\}$ �κǾ�������ʤ�����

���� 5.8   $($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$,+)$ ����ʬ���ǡ� $\{2,\sqrt{5}\}$ ������������� $H$ ���֤��ޤ��� ���ΤȤ��� $H\cap$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}=\{x\in H; x>0\}$ �ˤϺǾ������ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 5.9   ${\operatorname{GL}}_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �Τʤ��ǡ�

$$A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

����������뷲����ʤ�����

���� 5.10   ${\operatorname{GL}}_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �Τʤ��ǡ�

$$A= \begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 37 & -11 \end{pmatrix}$$

����������뷲����ʤ�����

���� 5.11  

$$A= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

��������ޤ��� ${\operatorname{GL}}_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �Ρ�$A,B$ �������������ʬ������ʤ�����

���� 5.12   �����β�ˡ�� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ�� $H$ ����${m,n}$ �����������Ȥ��ޤ��� ���ΤȤ�������

$$H=\{ma+nb; a,b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 5.13   �� $G$ ����ʬ���� $M$ ��$G$ �θ� $g_0$ �Ȥ����äơ�Ǥ�դ� $M$ �θ� $m$ ������

$$g_0 mg_0^{-1} \in M$$

������Ω�ä��Ȥ���ȡ�$M$ ����������� $G$ ����ʬ�� $H=\langle M \rangle$ ��Ǥ�դθ� $h$ �ˤĤ���

$$g_0 hg_0^{-1}\in H$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 5.14   �� $G$ ����ʬ���� $M$ ��$G$ �θ� $g_0$ �Ȥ����äơ�Ǥ�դ� $M$ �θ� $m$ ������

$$g_0 m= m g_0$$

������Ω�ä��Ȥ���ȡ�$M$ ����������� $G$ ����ʬ�� $H=\langle M \rangle$ ��Ǥ�դθ� $h$ �ˤĤ���

$$g_0 h= h g_0$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����