1=3     

����� IA �齬���� No.3

��ʬ��

������ʬ���Ȥϡ���ʬ����Ǥ��äƷ��ˤʤäƤ����ΤΤ��ȤǤ���

����������ʬ���γݤ����Ϥ�Ȥη��γݤ����Ȱ��פ��ʤ���Фʤ�ޤ��� ��ʬ�������Τ�����ϼ��Τ褦�ˤʤ�ޤ���

��� 3.1 (��ʬ�������)  

�� $(G,m)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��ޤ��� $G$ ����ʬ���� $H$ �� $G$ ����ʬ���Ǥ���Ȥ� �����ξ����������Ȥ��˸����ޤ���

(0)�ݤ��� $m:G\times G\to G$ �� $H\times H$ �����¤���ȡ� ����� $H$ ���ͤ���ġ����ʤ�������Τ褦�ʼ�����ͶƳ����롣

$$m:H\times H \to H$$

(1) $(H,m)$ �� ���Ǥ��롣

��� (0) �ϼ��Τ褦�˸��������Ƥ��ɤ���

(0$'$ ) $h,k$ �� $H$ ����Ǥ�դ˼�äƤ���ȡ� ���ĤǤ� $m(h,k)$ �� $H$ �θ��Ǥ��롣

���� 3.1   ���ν���������β�ˡ�� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ����ʤ��ޤ���? ��ͳ��Ĥ��������ʤ�����

1. $(1/2){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ = $\{0,1/2,-1/2,1,-1,3/2,-3/2,\dots\}$ .
2. $\{\pm 1 \}$ .
3. 0 �ʾ�������ν��� $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\dots,\}$ .
4. $7$ �dz�ä� $1$ ;���������Τν��� $7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
5. $4$ �dz���ڤ���������Τν��� $4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

���� 3.2 (��1��)   ���ν����ͭ�������ΤΤʤ���ˡ�� ( ${\mathbb{Q}}$ ,+) ����ʬ����ʤ��ޤ���? ��ͳ��Ĥ��������ʤ�����

1. $(1/2){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ = $\{0,1/2,-1/2,1,-1,3/2,-3/2,\dots\}$ .
2. �¿����Τν��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
3. $7$ �dz�ä� $1$ ;���������Τν��� $7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
4. 0 �ʳ���ͭ�������Τ��̾�γݤ����ˤĤ��Ƥʤ��� $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^{\times},\times)$ .

���� 3.3   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ�� $H$ �� $6$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½Ð¡ï¿½

1. $12$ �� $H$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $108$ �� $H$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $-216$ �� $H$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
4. $6$ ���ܿ����� $6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $H$ ����ʬ����Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.4   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ�� $H$ �� $200$ �� $55$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ �ΤäƤ����Ȥ��ޤ������ΤȤ���

1. $55\times 3(=165)$ �� $H$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $200-165(=35)$ �� $H$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $H$ �˳μ¤ˤϤ��äƤ���Ȥ����� ���������Τ������Ǿ��Τ�Τϲ��Ǥ�����

���� 3.5   0 �ʳ���ͭ�����Τʤ���ˡ�� $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^{\times},\times)$ ����ʬ�� $H$ �� $2$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½Ç¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î¤È¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½$H$ �����θ��Τ����Ǿ��Τ�Ρפ� ¸�ߤ��ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.6   �������ΤΤʤ���ˡ�� $G=({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ��ͤ��ޤ���

1. ���� $n$ ���ķ���ȡ�$G$ ����ʬ���� $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����
   $$n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}= \{n m; m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$
   �ˤ�äƷ�ޤ�ޤ���������� $G$ ����ʬ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. �դˡ�$G$ ����ʬ�� $H$ ��ɬ�� (1) �η��ǽ񤱤뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� (�ҥ�ȡ�$H$ �θ��Τ��������ǡ��Ǿ��ʤ�Τ� $n$ �Ȥ��Ƥߤʤ�����)

���� 3.7   �¿�����ʬ�ˤ��2������§��������Τϳݤ����˴ؤ��Ʒ���ʤ��ޤ��� (��������) ��������� ${\operatorname{GL}}_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �Ƚñ¤­¤Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Æ¡ï¿½

$$A= \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -7 & -4 \end{pmatrix}$$

��ޤ� ${\operatorname{GL}}_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ����ʬ���ǡ� ${\operatorname{GL}}_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ���ȤȤϰۤʤ��Τ���� ��Ĥ����ʤ�����

�Ĥ��ν�������ܤ˺ܤäƤ��뤫���Τ�ʤ�����ɤ⡢ �����ݤ��Ĥ��ˤ��Ƥ�������Ϳ���ޤ��� �������Ƭ�˽Ҥ٤����3.1�����ȯ���ưʲ��Τλ��¤� ����Ū�������ʤ��� �����Ǥ��뤫�ɤ������ݥ���ȤǤ���

���� 3.8  

1. $H$ �� $K$ �����Ȥ�˷� $G$ ����ʬ���Ǥ���С� $H\cap K$ �� $G$ ����ʬ���Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ�� $H,K$ �ǡ�$H\cup K$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ���� �ʤ�ʤ�����Ĥ����ʤ�����

���� 3.9   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ�� $H=m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $K=n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ȥζ�����ʬ $H\cap K$ ����ʤ�����

���� 3.10   $H$ ���� $G$ ����ʬ���Ǥ���С�$G$ �Τɤθ� $t$ �ˤĤ��Ƥ⡢ $tHt^{-1}$ �� $G$ ����ʬ���Ȥʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.11   �� $G$ ����ʬ�� $H,K$ �ˤĤ��ơ����� $HK$ ����ʬ���Ȥʤ뤿���ɬ�׽�ʬ���ϡ� $KH=HK$ ����Ω���뤳�ȤǤ�����ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½