���������

���� 1.1 (��1)   ���ޡ�$G$ �Ȥ����������ΤΤʤ����� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ȥꡢ�黻 $\circ$ ��

$$a\circ b =a+b$$

���������С�$(G,\circ)$ �Ϸ��θ���������������Τ���ʤ�����

���ˡ�

$$a \circ b=ab$$ (1.1)

$$a \circ b=a-b$$ (1.2)

$$a \circ b=b/a$$ (1.3)

���֤����Ȥ��� $(G,\phi)$ ���줾�췲�ˤʤ뤫�ɤ��������ʤ�����(��������ʹ�����ΤȤ��ˤ�������ͳ��Ҥ٤������Ƥ������������Ԥ��Ƥޤ������˸����Τ����ɤ���ʬ����­����Ƥ��뤫��ͤ��Ƥ����������ʲ���Ʊ�͡�)

���� 1.2 (��1)   ��������ǡ�$G$ �Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ������� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\setminus \{0\}$ (ͭ���������Τ��� 0 �Τߤ����������)��Τä��Ȥ��ˤϤɤ��Ǥ�����

���� 1.3   0 �ʲ������������� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{\leq 0}$ ��­�����ˤĤ��Ʒ��ˤʤäƤ��ޤ����� �������ˤĤ��ƤϤɤ��Ǥ�����

���� 1.4   $\{0,1,2,-1,-2\}$ ��­�����˴ؤ��Ʒ��ˤʤäƤ��ޤ��󡣤ʤ��Ǥ����� $\{1,1/2,2\}$ �ϳݤ����˴ؤ��Ʒ��ˤʤäƤ��ޤ�����

���� 1.5   ͭ���������ǤȤ��� $n\times n$ -�������Τν��� $M_n($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ �ˤĤ��ơ���ˡ�������̾�ΰ�̣���Ѥ�������ޤ������ν���Ϸ��θ������������ޤ�����

���� 1.6   ���� $M$ ���� $M$ �ؤμ������ΤΤʤ����� $S$ ��ͤ��ޤ��� ���ν���˱黻 $\circ$ ��ּ����ι�����¨��

$$(f \circ g )(x)=f(g(x))$$

������Ǥ��ޤ��������Τ���ʤ����� $(S,\phi)$ �Ϸ��ˤʤ�ޤ�����

���ؤǤϡ�$3$ ���ܿ��Ȥ����С���Τ�Τ� 0 ��ޤߤޤ��� �ޤ����� $\{$$3$ ���ܿ�$\}$ �� �Ȥ����Τ� $3$ ���ܿ����ΤȤ�����̣�Ǥ���

$$\{$$$3$ ���ܿ�$$\}=\{3\times n;$$   $n$ ������$$\}$$

���ν�������� $3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ƚ񤭤ޤ���

���� 1.7 (��1)   ���γơ��Τ�Τϡ������ˤʤäƤ��ޤ��������������͡�ñ�͡���ñ�ͤǤ�����

1. $f_1:3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto 4x \in 6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. $f_2: 3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^2 \in 6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
3. $f_3: 2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto 4 x \in 8 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
4. $f_4: 2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^3 \in 8 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

���� 1.8   ʣ�ǿ����Τν���� ${\mathbb{C}}$ �Ƚñ¤­¤Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ ${\mathbb{C}}$ ���� $\{0\}$ ����������� ${\mathbb{C}}\setminus \{0\}$ �Ϥ������˴ؤ��Ʒ���ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ �ä�

$$a+bi\quad (a,b \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)$$

�εո�����ʤ�����

���� 1.9   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �˼��Τ褦�ʱ黻�ò¤¤¤ì¤¿ï¿½ï¿½Î¤Ï·ï¿½ï¿½Ç¤ï¿½ï¿½ë¤³ï¿½È¤ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

$$\phi (x,y)=x+y-22$$

���� 1.10   $n$ �����¥٥��ȥ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ��­�����˴ؤ��Ʒ��ˤʤ뤫�ɤ����������ʤ�����

���� 1.11 (��1)   ���γơ��ϡ����Ǥ��뤫�ɤ��������줾����ͳ��󤲤������ʤ����� ���������黻�Ϥ��٤Ʋ�ˡ��ͤ����ΤȤ��롣

1. $7$ ��������������� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\setminus\{7\}$ .
2. $7 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\setminus{(3,4)}$ .
4. $\{ (x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 ; x \geq 0\}$ .
5. $\{ (x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 ; x \neq 11\}$ .
6. $\{ (x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 ; x +y = 0\}$ .
7. $\{ (x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 ; x +y^2 = 0\}$ .

��� 1.1   �� $G$ ����ʬ���� $S,T$ �ˤĤ��ơ����Ρ��ѡ�$ST$ ����

$$ST=\{st;s\in S,t\in T\}$$

���������ޤ��� $S^2, S^{-1}$ ���ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤǤ���

���� 1.12   $G$ ��0 �ʳ���ͭ�������Τ˾�ˡ���̾�γݤ���������������Ȥ��ޤ��� $(G=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times,\times)$ �������$G$ ����ʬ���� $A=\{2,3\}, B=\{2/3,4,5\}$ �ˤĤ��ơ�

$$AB, A^2,A^{-1}, AA^{-1}, A^2B$$

��׻����ʤ�����

http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/ �˥�����������ȡ����Υץ��ȼ��Τ��Ȥ�ޤ�.