����� IB No.13����

��¿�༰�Ĥ��Ǹ�ʬ��ĤǤ����

���� 13.1   $R$ ���Ǹ�ʬ��Ĥʤ�� $R[X]$ ���Ǹ�ʬ��ĤǤ��롣

��������ηϤȤ���ľ���ˤ狼�뼡�Τ��Ȥ����Ѵ���Ū�ǡ����פǤ��롣

�� 13.2   �Ǹ�ʬ��� $R$ ��� $n$ �ѿ�¿�༰�� $R[X_1,X_2,\dots, X_n]$ �� �ޤ��Ǹ�ʬ��ĤǤ��롣

���� 13.1   ���� $R$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ�������

$$S_R=R\times (R\setminus\{0\})=\{(a,b); a\in R, b\in R, b\neq 0\}$$

��Ʊ�ʹط���

$$(a,b)\sim (c,d) {\Leftrightarrow}a d =b c$$

��������롣 $(a,b)\in S_R$ �Τ���Ʊ�ʹط��ˤ�륯�饹�� $a/b$ �Ƚ񤯡� $Q(R)=S_R/\sim$ ���¡��Ѥ�

$$a/b+ c/d=(ad+bc)/bd$$

$$a/b\cdot c/d=(ac)/(bd)$$

���������ȡ������Ϥ��ޤ���������, $Q(R)$ ���Τˤʤ롣

��� 13.1   ���� $R$ �ˤ������ƾ�Τ褦�˺����� $Q(R)$ �� $R$ �������ȸƤ֡�

���� 13.1 �ξ����ˤϡ� $Q(R)[X]$ ���ǰ���ʬ������Ѥ��� $R[X]$ ���ǰ���ʬ��򤹤뤳�Ȥ�ͤ��롣 ���Τ���˼��γ�ǰ���Ѥ��褦��

��� 13.2   �Ǹ�ʬ��� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰ $f$ �� ����Ū�Ǥ���Ȥϡ� $f$ �η��������ƽ��᤿��Τκ��������� $1$ �Ǥ���Ȥ��ˤ�����

¿�༰�η����Ρֶ��̰����פ򤯤���Ф����Ȥˤ�ꡢ���Τ��Ȥ������롣

���� 13.2   Ǥ�դ� $f\in R[X]$ ��

$$f=a f_1 \qquad (a \in R,$$   $f_1&isin#in;R[X]$ �ϸ���Ū$$)$$

�Ƚ񤯤��Ȥ��Ǥ��롣$a$ ��Ʊȼ������ư��Ū�Ǥ��롣

���� 13.3 (������)   �Ǹ�ʬ��� $R$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���$K=Q(R)$ �Ȥ��������ΤȤ�

1. $R[X]$ �θ� $f,g$ �� $R$ ���Ǹ� $p$ �Ȥˤ������ơ�
   $$fg\in p R[X] \ {\Leftrightarrow}\ \left(f \in p R[X] \text{ or }g \in p R[X]\right)$$

2. $R[X]$ �θ���Ū�ʸ����Ѥ�ɬ������Ū�Ǥ��롣
3. $R[X]$ �θ���Ū�ʸ� $f$ �ˤĤ��ơ� ���Τ��Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣
   1. $f$ �� $R[X]$ ���Ǹ��Ǥ��롣
   2. $f$ �� $R[X]$ �δ��󸵤Ǥ��롣
   3. $f$ �� $K[X]$ �δ��󸵤Ǥ��롣
   4. $f$ �� $K[X]$ ���Ǹ��Ǥ��롣

����. (1) $R[X]/pR[X]\cong (R/p)[X]$ �Ǥ���(���� 13.2)��($R/p$ �� ��������顢$(R/p)[X]$ �����衣�椨�� $p R[X]$ �� $R[X]$ ���ǥ��ǥ���Ǥ��롣

(2) �� (1)���餹���˽�����

(3): (a) $\implies$ (b) ������10.3�� (1) ���齾���� $K[X]$ �ϥ桼����å�����Ǥ��뤫�顢���ʬ��ġ��椨�ˡ� (c) ${\Leftrightarrow}$ (d) �Ǥ��롣

(b) $\implies$ (c): $f$ �� $R[X]$ �θ���Ū���󸵤Ǥ���Ȥ��롣 $f$ ���⤷ $K[X]$ �Ǵ���Ǥʤ���С�

$$c_1 f=c_2 g_1h_1$$

( $c_1,c_2\in R\setminus \{0\}$ , $g_1,h_1\in R[X]$ �ϸ���Ū����1���ʾ�) �ʤ� $c_1,c_2,g_1,h_1$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥ�ʬ���롣 $g_1 h_1$ ��(2)�ˤ�긶��Ū�Ǥ��뤫�顣$c_1$ �� $c_2$ ��Ʊȼ�� ���Τ��Ȥ��顢

$$f=u g_1 h _1 (\exists u \in R^\times)$$

���狼�롣����� $f$ �� $R[X]$ �δ��󸵤Ǥ��뤳�Ȥ�ȿ���롣

(d)$\implies$ (a): $f$ �� $R[X]$ �θ���Ū�ʸ��ǡ�$K[X]$ ���Ǹ��Ǥ���Ȥ��롣 $gh \in f R[X]$ �ʤ� $g,h \in R[X]$ ������Ȥ���ȡ�$K[X]$ �Τʤ��� �ͤ��뤳�Ȥˤ��

$$g \in f K[X]$$    or $$h \in f K[X]$$

���狼�롣�ɤ���Ǥ⤪�ʤ����ȤǤ��뤫�� $g \in f K[X]$ �Ȥ��褦�� �������򼺤����Ȥʤ���$g$ �ϸ���Ū�Ǥ���Ȳ��ꤷ�Ƥ褤�� $g\in K[X]$ ����

$$b_0 g =b_1 f m$$

�ʤ� $b_0,b_1\in R\setminus \{0\}$ �ȡ� ����Ū�ʸ� $m\in R[X]$ ��¸�ߤ�ʬ���롣 �Ƥ� (2)�Τ�ꡢ$b_0$ �� $b_1$ �Ȥ�Ʊȼ�Ǥ��뤳�Ȥ��Τ롣�������äơ� $g \in f R[X]$ . $\qedsymbol$

���� 13.1   ���� $R$ �ˤ������ơ�$Q(R)$ ���¤����ޤ��������뤳�Ȥ�ºݤ˾������衣

���� 13.2   �Ĵ��� $R$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���Ǥ�դ� $p \in R$ �ˤ������� �ĤȤ��Ƥ�Ʊ��

$$R[X]/p R[X] \cong (R/pR)[X]$$

��¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����