1=5 1 by -1     

����� IB No.5����

�Ծ�;�ġ��ǥ��ǥ��롢���祤�ǥ����

����ޤǤˡ��� $R$ �Ρ����Υ��ǥ��� $I$ �ˤ���;�ĤˤĤ��Ʋ��⤷����

$$\bar{x}=\bar{y} {\Leftrightarrow}x-y \in I$$

�ʤ�Ƚ��ˡ�ˤ�� $R$ �˥��饹ʬ�������뤳�ȡ�$R/I$ �˲�ˡ����ˡ�� ��ɽ���ΤȤ����ˤ�餺����ޤ뤳�Ȥ��ݥ���ȤǤ��ä��� ���Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ����ơ�

$$\overline{153}\times \overline{493}$$

��׻�����Τˡ� $\overline{153\times 493}$ ��׻����Ƥ�褤���� $\overline{153}=\overline{-1}, \overline{493}=\overline{-2}$ ����ɽ�����괹���Ƥ��� $\overline{-1}\times \overline{-2}$ �Ȥ�äƤ��ɤ��櫓�Ǥ��롣

&dotfill#dotfill;

�Ĵ��� $R$ �ȡ�$R$ ����ʬ���� $S$ �ˤĤ��ơ� $S$ ��ޤ� $R$ �Υ��ǥ���Τ����Ǿ��Τ�Τ�$S$ ����������� $R$ �Υ��ǥ��� �Ȥ�����$(S)$ ��ɽ���ΤǤ��ä��� $S$ ��ͭ�½���ξ��ˤϡ� $(\{a_1,a_2,\dots,a_n\})$ �Τ��Ȥ����� ñ�� $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ �Ƚ񤯡�

���� 5.1   �Ĵ��� $R$ ��ͭ����ʬ���� $T=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ ���Ф��ơ�

$$(T) =R a_1+R a_2+R a_3+\dots+R a_n$$

$$(=\{\sum_{j=1}^n c_j a_j ; c_j \in R\})$$

������Ω�ġ�

��� 5.1   �Ĵ��� $R$ �θ� $x$ �� $R$ ���������Ǥ���Ȥϡ� $xy=0$ ���� $y\neq 0$ ��ߤ��� $R$ �θ� $y$ ��¸�ߤ���Ȥ��˸�����

��� 5.2   �Ĵ��� $R$ ����������줿�Ȥ��롣

1. $R$ �� 0 �ʳ��������Ҥ��ʤ��ʤ顢 $R$ �������Ǥ���Ȥ�����
2. $R$ �� 0 �ʳ��θ��� $R$ �DzĵդǤ���Ȥ���$R$ �����Ǥ���Ȥ�����

��������Τ�ɬ������Ǥ��롣

��� 5.3   �Ĵ��� $R$ �Υ��ǥ��� $I$ ($R\neq I$ )�ˤĤ��ơ�

1. $R/I$ ������Ǥ���Ȥ���$I$ �� $R$ ���ǥ��ǥ���Ǥ���Ȥ�����
2. $R/I$ ���ΤǤ���Ȥ���$I$ �� $R$ �ζ��祤�ǥ���Ǥ���Ȥ�����

������̾����ͳ��Ϥ�äȤ��ȤΤۤ��ǽҤ٤롣 ���������äƤϡ������㤬���פǤ��롣

�� 5.1  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $\{0\}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���ǥ��ǥ���Ǥ��뤬�� ���祤�ǥ���ǤϤʤ���
2. �ǿ� $p$ ����������줿�Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ζ��祤�ǥ���Ǥ��롣
3. �������� $n$ ���ǿ��Ǥʤ��Ȥ��� $n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���ǤϤ��뤬�� �ǥ��ǥ���ǤϤʤ���

��� 5.4   �ǿ� $p$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��(�����˽Ҥ٤��褦��)����� $p$ ���ΤǤ��롣 ������ ${\mathbb{F}}_p$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

����Ǥʤ��ĤǤϡ����ޤǤΡ־Ｑ�פ����Ѥ��ʤ����Ȥ�����:

���� 5.2   �� $R$ �ȡ����ξ�ΰ��ѿ�¿�༰ $f(X)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $d=\deg(f)$ ($f$ ���)�Ȥ����Ȥ���

1. $R$ ������ʤ�С� $f(r)=0$ ��ߤ��� $R$ �θ� $r$ �� $d$ �İʲ��Ǥ��롣
2. $R$ ������Ǥʤ���С� $f(r)=0$ ��ߤ��� $R$ �θ� $r$ �� $d$ �İʾ�¸�ߤ�����⤢�롣

(2)����:

1. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $f(X)=3 X$ �ϰ켡��������$0,2,4$ �Τɤ���������Ƥ� 0 �Ǥ��롣
2. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $f(X)=(X-1)(X-2)$ ���󼡼�������$1,2,4,5$ �Τɤ���������Ƥ� 0 �Ǥ��롣

����ݡ�������

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

${\mathbb{F}}_{13}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/13{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ρ�0 �ʳ��γƸ��ˤĤ��ơ����εո����Ȥ�ơ� ����ɽ���������ʤ�����

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$x^{-1}$	1	7					2