1=3 1 by -1     

����� IB No.3����

�����Υơ���:

�Ĥ򥤥ǥ���dz�뤳�Ȥˤ�ꡢ�������Ĥ��뤳�Ȥ�����롣 ����ϡ�����������ʬ���dz�����˻��Ƥ��롣

��� 3.1   $R$ ��ñ�̸����ĴĤǤ���Ȥ���$I$ �Ϥ�����ʬ����Ǥ���Ȥ��롣 $I$ �� $R$ �����ǥ����Ǥ���Ȥϡ� ���ξ�郎����Ω�� �Ȥ��ˤ�����

1. $I$ �� $(R,+)$ ����ʬ���Ǥ��롣 ���ʤ����$I$ �� $R$ �βá���ˡ�ˤĤ����Ĥ��Ƥ��롣
2. $I$ �θ��� $R$ �θ��򱦤���ݤ��Ƥ⺸����ݤ��Ƥ��äѤ� $I$ �θ��ˤʤ롣 ���ʤ���� Ǥ�դ� $x \in I$ ��Ǥ�դ� $r\in R$ �ˤĤ��ơ�
   $$rx\in I , xr \in I$$
   ������Ω�ġ�

�� 3.1 (���ǥ������)  

1. $10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
2. ��äȰ��̤ˡ�$n>0$ �ˤ������ơ� $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
3. ���˰��̤ˡ�Ǥ�դβĴ��� $R$ �� Ǥ�դ� $a\in R$ �ˤ������ơ� $a R$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
4. Ǥ�դδ� $R$ ���Ф��ơ� $\{0\}$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣

�������������ʬ�ġפ򰷤ä�����Ʊ�������ǡ����Τ��Ȥ�����Ω�Ĥ��Ȥ��狼�롣

���� 3.1   �� $R$ ����ʬ���� $S$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���$S$ �� �ޤ� $R$ �Υ��ǥ���Τ������Ǿ��Τ�Τ�¸�ߤ��롣 (����� $S$ ����������� $R$ �Υ��ǥ���Ȥ����� $\langle S \rangle_{R\text{-¥¤¥Ç¥¢¥ë}}$ �Ȥ��� $(S)$ �� �ñ¤¯¡ï¿½)

�� 3.2   �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ȥ��ơ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1. $(2)=2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. $(10)=10 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
3. $(12,18)=6 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

�� 3.3   �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �Υ��ǥ���Ȥ��ơ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1. $(2)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
2. $(10)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
3. $(12,18)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .

��Σ��Ĥ������Ӥ����ʬ����褦�ˡ��ɤδĤǹͤ��뤫�����ѽ��פǤ��롣

���� 3.2   $R$ ��ñ�̸����ĴĤǤ���Ȥ���$I$ �ò¤½¤Î¥ï¿½ï¿½Ç¥ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£ ���ΤȤ���

1. $R$ ��Ʊ�ʹط� $\sim$ �������Τ褦�ˤ��Ʒ�ޤ롣
   $$a\sim b {\Leftrightarrow} a-b \in I.$$

2. $R/\sim$ �ˡ�­�����򼡤Τ褦�ˤ�������롣
   $$\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b} \quad ($$$?$ �� $?$ �� $&sim#sim;$ �˴ؤ��� ���饹��ɽ����$$)$$
   ����­�����Ϥ��ޤ��������Ƥ��ơ�$R/\sim$ �Ϥ���­�����ˤĤ��ƲĴ����ˤʤ롣
3. $R/\sim$ �ˡ��������򼡤Τ褦�ˤ�������롣
   $$\bar{a}\cdot \bar{b}=\overline{a \cdot b}$$
   ���Τ������Ϥ��ޤ��������Ƥ��ơ�$R/\sim$ �Ϥ��Τ������ˤĤ���Ⱦ���ˤʤ롣
4. $R/\sim$ �Ͼ��������줿­��������������˴ؤ��Ĥ�ʤ��� �����⡢���δĤ�ñ�̸� $\bar{1}$ ����ġ�

��� 3.2   �������β���Τ�Ȥǡ� $R/\sim$ �˾�Τ褦��­������������������� �Ĥˤ�����Τ� $R/I$ �Ƚñ¤­¡ï¿½$R$ �� $I$ �ˤ�� ��;���ȸƤ֡�

����ݡ�������

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 3.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $I$ �� $4615$ �� $1469$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½ $13$ �� $I$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.2   �� $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/(100,355)$ �ˤ����� $x$ �Υ��饹�� $\bar{x}$ �Ƚñ¤¯¤ï¿½ï¿½È¤Ë¤ï¿½ï¿½ë¡£ ���ΤȤ���

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ� $x$ �ǡ�$R$ ����ǹͤ���� $\bar{x}=\bar{0}$ ������Ω����� 5�Ĥ����ʤ�����
2. $R$ ����� $\bar{5}=\bar{0}$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����