����ر齬 IB ���� No.1

��� 1.1   $(R,+,\times)$ ����(���ΤˤϷ��Ū��)�Ǥ���Ȥϡ����줬���Σ��Ĥξ����������Ȥ��˸����ޤ���

1. $R$ �� $+$ (��ˡ) �˴ؤ��Ʋ�ˡ���Ǥ��롣 ����ñ�̸�(�Ĥޤꡢ$R$ �β�ˡ�˴ؤ���ñ�̸�)�� 0 �Ƚ񤭡� $R$ �������ȸ����ޤ���
2. $\times$ (��ˡ) �Ϸ��Χ����������
3. $+$ �� $\times$ �Τ������Ǥ�ʬ��ˡ§������Ω�ġ����ʤ����

   $$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$$

   $$(b+c)\times a= b\times a+c\times a$$

   
   
   �����٤Ƥ� $R$ �θ� $a,b,c$ �ˤĤ�������Ω��

����� $R$ �θ� $u$ ��

$$u\times a=a\times u=a ($$���٤Ƥ� $a&isin#in;R$ �ˤĤ���$$)$$

���������Ȥ���$u$ �� $R$ ��ñ�̸��ȸ����ޤ���(���̤ϡ�ñ�̸��Τ��Ȥ� $1$ �Ƚ񤭤ޤ���)

��ñ�˸����С����̤η׻����äƤ�Ȼפä��ɤ��Ǥ�������������껻���Ǥ��ʤ����Ȥȡ��Ѥ��Ĵ��Ȥϸ¤�ʤ����Ȥ��㤤�ޤ����ޤ�����ˡ�� $\times$ �Ͼ�ά���뤳�Ȥ�¿���Ǥ����㤨�С�

$$a\times b=ab.$$

�ޤ��� $(x+x)+x=3x$ , $x\times x=x^2$ ����ά�����ޤ���

(�齬���Թ�ˤ�ꡢ�������Ⱥ���(No.1)�Ǥϡ��Ĥ�ñ�̸���¸�ߤ��ꤷ�ޤ��� ��������(No.2)����ϡ��ֵ�����Ĵ�򤢤碌�ơ� �Ĥȸ�����ñ�̸����Ĥ�ΤΤߤ򰷤����Ȥˤ��ޤ���)

��� 1.2   �Ѥ��Ĵ��Ǥ���Ĥ�Ĵ��Ĥȸ����ޤ���ñ�̸���¸�ߤ��ơ� 0 �Ǥʤ����dz�껻���Ǥ���褦�ʲĴ��Ĥ��Τȸ����ޤ���

���� 1.1   �� $R$ �θ� $a,b$ ���Ф��ơ� $a0=0a=0, (-a)b=a(-b)=-(ab),ab=(-a)(-b), (3a)(2b)=6(ab)$ ������Ω�Ĥ��Ȥò¡¢´Ä¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î¤É¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½Ñ¤ï¿½ï¿½Æ¤ï¿½ï¿½ë¤«ï¿½ï¿½ ��ʬ���դ��ʤ��鼨���ʤ����� ($3 a$ �� $(a+a)+a$ ��ά���Ǥ��äơ�$3$ �� $a$ �Τ������Ǥ��ʤ����Ȥ����ա�)

���� 1.2   $a,b,c,d$ �� �Ĵ��� �θ��Ȥ���Ȥ������μ���Ÿ�����ʤ����� (�ܺ٤��狼�äƤ��뤳�Ȥ���Ƭ�dz�ǧ�Ǥ���Ф��Ȥ��������Ǥ��ɤ���) (������1)

$$(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$$ (1.1)

$$(a+b+c+d)(a+b-c-d)$$ (1.2)

$$(a+b+c)^2-(a-b-c)^2$$ (1.3)

���� 1.3 (������1.)   �Ĥ�������ñ�̸���¸�ߤ����Ȥ��Ƥ⤿���ҤȤĤǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (�ҥ��1��$u,v$ ����Ĥ������Ȥ���� $u+v=\dots$ ) (�ҥ��2��$u,v$ ����Ĥ�ñ�̸��Ȥ���� $uv=\dots$ )

���� 1.4 (������1)   ���γƽ���ϴĤǤʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (��ˡ����ˡ�ϼ����ʤ�Τ����֡�)

1. �ǿ����Τν��� $P$ .
2. 0 �ʾ������������ $\mathbb{N}$ .
3. $\{-2,-1,0,1,2\}$ .

���� 1.5 (������1)   ���γƽ���ϴĤǤʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (��ˡ����ˡ�ϼ����ʤ�Τ����֡�)

1. $\{\frac{n}{10}; n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .
2. $\{ x\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$; 50 x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .

���� 1.6 (������1)   ���γƽ���ϴĤǤʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (��ˡ����ˡ�ϼ����ʤ�Τ����֡�)

1. $\{z\in {\mathbb{C}}; \Im(z)=1\}$ . ($\Im(z)$ �� $z$ �ε�����ɽ������Ǥ���)
2. $\{z\in {\mathbb{C}}; \Im(z)\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .

���� 1.7 (��1)   �������Τν��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˡֿ������¡�$\boxplus$ ��

$$a \boxplus b = a+b-5$$

����������Ȥ�

1. ���ο������¤ϲĴ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ���ο������¤Ϸ��Χ��ߤ������ȡ����ʤ��
   $$\forall (a,b,c)\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^3 \qquad (a \boxplus b)\boxplus c=a \boxplus (b \boxplus c)$$
   ���ʤꤿ�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����
3. ���ο������¤˴ؤ���ñ�̸���¸�ߤ����������?
4. ���ο������¤˴ؤ��Ƴ� $a\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �εո���¸�ߤ����������?

���� 1.8 (��1)   �������Τν��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˡֿ������ѡ�$\boxtimes$ ��

$$a \boxtimes b = ab -5 a -5 b + 30$$

����������Ȥ�

1. ���ο������ѤϲĴ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ���ο������ѤϷ��Χ��ߤ������ȡ����ʤ��
   $$\forall (a,b,c)\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^3 \qquad (a \boxtimes b)\boxtimes c=a \boxtimes (b \boxtimes c)$$
   ���ʤꤿ�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����
3. ���ο������Ѥ˴ؤ���ñ�̸���¸�ߤ����������?
4. ���ο������Ѥ˴ؤ��Ƴ� $a\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �εո���¸�ߤ����������?
5. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �˲�ˡ�Ȥ�������� $\boxplus$ , ��ˡ�Ȥ�������� $\boxtimes$ �� Ƴ��������ΤϴĤǤ���Ȥ������������?