next up previous
Next: About this document ...

    

�����Ƚ������� No.16

���� 16.1   ̿�� P: $ \forall x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \forall y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ( x<y \implies \exists z\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ( x<z$    and $ z<y)))$ �ˤĤ��ơ�
  1. P ������̿����not ��Ȥ鷺�ˡ׽񤭤ʤ�����(���Τߤ��ɤ���)
  2. P �� not P �Τ��������Ǥ���ΤϤɤ���������������Ǥ������� ̿����������������������ʤ�����

���� 16.2   ���� $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^3-x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤĤ��ơ� ���γ���������衣���줾����ͳ��Ҥ٤뤳�ȡ�

  1. $ \overset{-1}{f}(\{0\})$ ����衣
  2. $ \overset{-1}{f}(\{6,7,8,9,10\})$ ����衣

����

16.1

(1) P �������

$\displaystyle \exists x\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle \exists y\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ( x < y$    and $\displaystyle \forall z\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 872
$\displaystyle ( x\geq z$    or % latex2html id marker 873
$\displaystyle z \geq y)))
$

�Ǥ��롣

(2) P �Τۤ������Ǥ��롣

[����] $ \forall x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \forall y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����äƤ��롣���ޡ� $ x<y$ �Ȳ��ꤹ��ȡ�

$\displaystyle z=\frac{x+y}{2}
$

��

$\displaystyle x< z <y
$

�������� $ {}^\dagger$ ��[���������]

( $ {}^\dagger$ �����ΤȤ����ϡ��⤦�����ܤ���������

% latex2html id marker 890
$\displaystyle z-x=\frac{y-x}{2} >0,\quad y-z=\frac{y-x}{2} >0
$

�Ǥ��뤫��Ǥ��롣)

16.2

(1)

$\displaystyle \overset{-1}{f}(\{0\})$ $\displaystyle = \{x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; f(x)=0\}$    
  $\displaystyle =\{x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; x^3-x=0\} =\{x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; x(x-1)(x+1)=0\}$    
  $\displaystyle =\{0,1,-1\}.$    

(2) $ x=-1,0,1,2,3$ �ˤ����� $ f$ ���ͤϤ��줾��

$\displaystyle 0,0,0,6,24
$

�Ǥ��ꡢ$ f$ �� % latex2html id marker 904
$ x \leq -1$ �ˤ����Ƥ�ñĴ���äǤ��뤫�顢

$\displaystyle x<-1 \implies f(x) < f(-1)=0.$

Ʊ�ͤˡ�$ f$ �� % latex2html id marker 910
$ x \geq 3 $ �ˤ����Ƥ�ñĴ���äǤ��뤫�顢

$\displaystyle x>3 \implies f(x) > f(3)=24.
$

�椨�ˡ�$ f(x)$ ���ͤ� $ 6,7,8,9,10$ �Τ����줫���������Τ� ( $ x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ξ��Τ�Ȥ�) $ x=2$ �� �Ȥ��˸¤롣���ʤ����

$\displaystyle \overset{-1}{f}(\{6,7,8,9,10\})
=\{2\}
$



2011-08-04