�����Ƚ������� No.16

���� 16.1   ̿�� P: $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$( x<y \implies \exists z\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$( x<z$    and $z<y)))$ �ˤĤ��ơ�

1. P ������̿����not ��Ȥ鷺�ˡ׽񤭤ʤ�����(���Τߤ��ɤ���)
2. P �� not P �Τ��������Ǥ���ΤϤɤ���������������Ǥ������� ̿����������������������ʤ�����

���� 16.2   ���� $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^3-x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤĤ��ơ� ���γ���������衣���줾����ͳ��Ҥ٤뤳�ȡ�

1. $\overset{-1}{f}(\{0\})$ ����衣
2. $\overset{-1}{f}(\{6,7,8,9,10\})$ ����衣

����

16.1

(1) P �������

$$\exists x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\exists y\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$( x < y$$    and $$\forall z\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$( x\geq z$$    or $$z \geq y)))$$

�Ǥ��롣

(2) P �Τۤ������Ǥ��롣

[����] $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����äƤ��롣���ޡ� $x<y$ �Ȳ��ꤹ��ȡ�

$$z=\frac{x+y}{2}$$

��

$$x< z <y$$

�������� ${}^\dagger$ ��[���������]

( ${}^\dagger$ �����ΤȤ����ϡ��⤦�����ܤ���������

$$z-x=\frac{y-x}{2} >0,\quad y-z=\frac{y-x}{2} >0$$

�Ǥ��뤫��Ǥ��롣)

16.2

(1)

$$\overset{-1}{f}(\{0\}) = \{x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; f(x)=0\}$$

$$=\{x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; x^3-x=0\} =\{x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; x(x-1)(x+1)=0\}$$

$$=\{0,1,-1\}.$$

(2) $x=-1,0,1,2,3$ �ˤ����� $f$ ���ͤϤ��줾��

$$0,0,0,6,24$$

�Ǥ��ꡢ$f$ �� $x \leq -1$ �ˤ����Ƥ�ñĴ���äǤ��뤫�顢

$$x<-1 \implies f(x) < f(-1)=0.$$

Ʊ�ͤˡ�$f$ �� $x \geq 3$ �ˤ����Ƥ�ñĴ���äǤ��뤫�顢

$$x>3 \implies f(x) > f(3)=24.$$

�椨�ˡ�$f(x)$ ���ͤ� $6,7,8,9,10$ �Τ����줫���������Τ� ( $x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ξ��Τ�Ȥ�) $x=2$ �� �Ȥ��˸¤롣���ʤ����

$$\overset{-1}{f}(\{6,7,8,9,10\}) =\{2\}$$