�����Ƚ������� No.15

��15���ܤμ��� : ������

���� 15.1   ̿�� P: $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$( x<y \implies \exists z\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}( x<z \text{ and } z<y)))$ �ˤĤ��ơ�

1. P ������̿�� (not P)���not ��Ȥ鷺�ˡ׽񤭤ʤ�����
2. P �� not P �Τ��������Ǥ���ΤϤɤ������������

���� 15.2   ���� $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^2-2x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���Ф��ơ�

1. $\overset{-1}{f}(\{0\})$ ����ʤ�����
2. $\overset{-1}{f}(\{1\})$ ����ʤ�����
3. $\overset{-1}{f}(\{4,5,6\})$ ����ʤ�����
4. $f$ ��ñ�ͤ�����������ͳ��󤲤������ʤ�����
5. $f$ �����ͤ�����������ͳ��󤲤������ʤ�����
6. $f$ �ˤ�ä� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ�ʹط� $\sim_f$ ��
   $$x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)$$
   �ˤ����ޤ롣���� $\sim_f$ �ˤ�� $3$ ��Ʊ�ͤˤʤ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ��� ���٤Ƶ��ʤ�����

���� 15.3   ���� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2-2x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $\overset{-1}{f}(\{0\})$ ����ʤ�����
2. $\overset{-1}{f}(\{1\})$ ����ʤ�����
3. $f$ ��ñ�ͤ�����������ͳ��󤲤������ʤ�����
4. $f$ �����ͤ�����������ͳ��󤲤������ʤ�����
5. $f$ �ˤ�ä� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ʊ�ʹط� $\sim_f$ ��
   $$x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)$$
   �ˤ����ޤ롣���� $\sim_f$ �ˤ�� $3$ ��Ʊ�ͤˤʤ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �θ��� ���٤Ƶ��ʤ�����

���� 15.4   $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \to x^3-x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �����ͤǤ���������

���� 15.5   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \to x^3-x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �����ͤǤ���������