next up previous
Next: About this document ...

    

�����Ƚ������� No.14

��14���ܤμ��� : \fbox{¾¦½¸¹ç¤Îµ­½Ò}

���� 14.1 (��)   $ f:$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \ni t \mapsto (\cos(t),\sin(t)) \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�
  1. $ 0 \sim_f 2 \pi$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  2. $ 0 \not\sim_f \pi$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  3. $ 0 \sim_f a$ �Ȥʤ�褦�� $ a\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ò¤¹¤Ù¤Æµï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
  4. $ a \sim_f b$ �Ȥʤ뤿��� $ a,b\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��� �ʤ����������

���� 14.2 (��)   $ X=$(ʿ��̾�����ΤΤʤ�����) , $ y=$(����ե��٥åȾ�ʸ�����ΤΤʤ�����) , $ f: X\to Y$ �� $ x\in X$ ���Ф��ơ�$ x$ �� �����޻���ʸ��ɽ��(�إܥ�)�������κǸ��ʸ���˼̤����Ȥˤ�����롣 ���ΤȤ���

  1. ���ʤ��μ�ͳ�������ʿ��̾5ʸ�� $ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ �ˤĤ��ơ� $ f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4),f(x_5)$ ����ʤ�����
  2. �֤� $ \sim_f $ ���� �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  3. �֤� $ \not\sim_f $ ���� �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  4. $ \sim_f $ �˴ؤ���Ʊ�����饹�Ǥ��뤿��ξ���ʷ�˽Ҥ٤ʤ�����
  5. ������ $ X/\sim_f$ �θ��θĿ� $ \char93 (X/\sim_f)$ �Ϥ����Ĥ���

���� 14.3 (��)   $ X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ , $ Y=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ �Ȥ��� $ f: X\to Y$ �� $ f(x)=$($x$ ��10�dz�ä�;��) ��������롣 ���ΤȤ���
  1. ���ʤ��μ�ͳ��������������� $ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ �ˤĤ��ơ� $ f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4),f(x_5)$ ����ʤ�����
  2. $ 75 \sim_f 55 $ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  3. $ 85 \not \sim_f 1018$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  4. $ \sim_f $ �˴ؤ���Ʊ�����饹�Ǥ��뤿��ξ��� 10�ʿ��ˤ��ɽ���������ƴʷ�˽Ҥ٤ʤ�����
  5. $ x \sim_f y$ �� $ x-y \in 10 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  6. ������ $ X/\sim_f$ �θ��θĿ� $ \char93 (X/\sim_f)$ �Ϥ����Ĥ���

������Ϳ�����Ƥ��ʤ��Ƥ⡢Ʊ�ʹط���Ϳ���뤳�ȤϤǤ��롣

$ X$ ��Ʊ�ʹط� $ \sim$ �����������Ƥ���Ȥ���$ X\sim$ �ˤ����� $ x\in X$ �Υ��饹�� $ [x]$ ���Ȥ���$ \bar x$ ��ɽ�����뤳�Ȥ�¿����

���� 14.4   $ X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ�ʹط���

$\displaystyle n_1\sim n_2  {\Leftrightarrow} n_1 -n_2 \in 11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}
$

��������롣���ΤȤ���
  1. $ \sim$ �ϼºݤ�Ʊ�ʹط��Ǥ��뤳�Ȥ��ǧ���衣
  2. $ n$ �Υ��饹�� $ [n]$ �Ƚ񤯤Ȥ���$ [0]=[121]$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  3. % latex2html id marker 1276
$ [3]\neq [7]$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  4. $ 7$ ��Ʊ�����饹�ˤʤ������� $ 5$ �ĵ󤲤ʤ�����

\fbox{¾¦½¸¹ç¤«¤é¤Î¼ÌÁü}

���� $ X$ �ξ����� $ X/\sim$ ���� �̤ν��� $ Y$ �ؤμ��� $ f:(X/\sim) \to Y$ ��������뤳�Ȥ�ͤ��Ƥߤ褦�� �ƥ��饹 $ C$ ���ɤ��˹Ԥ�������뤳�Ȥˤʤ롣 �褯����Τϡ�$ C$ ����ɽ��ҤȤļ�äƤ��ơ�����ιԤ���� ����������Ǥ��롣2�ĤΥ����������롣

  1. �ƥ��饹������ۤ�����ɽ��ҤȤ�����Ǥ��ơ�����˱������Ԥ������롣 (�ֵ�²���Ū��)
  2. Ʊ�����饹�θ��ʤ�Фɤθ�����ɽ�ˤ��Ƥ�����Ʊ���ˤʤ�褦�˹Ԥ�������֡� (��̱����Ū��)

���ؤǤϡ�̱����Ū�ʾ���ͤ���ɬ�������褯�����롣 �����Ǥ���ˤĤ����������褦��

̿�� 14.1   $ X$ ��Ʊ�ʹط� $ \sim$ ����ޤäƤ���Ȥ���$ x\in X$ �Υ��饹�� $ [x]$ �� ɽ�����Ȥˤ��롣���ΤȤ���$ X$ ���� $ Y$ �ؤμ��� $ g$ ��

% latex2html id marker 1314
$\displaystyle \forall x_1\in X \forall x_2 \in X \quad (x_1 \sim x_2 \implies g(x_1)=g(x_2))$ (��)

���������С������ʼ��� $ f:(X/\sim) \to Y$ ��

$\displaystyle f([x])=g(x)
$

��������뤳�Ȥ��Ǥ��롣

���(��)��ߤ����Ȥ��� $ f:(X/\sim)\ni [x]\mapsto g(x)\in Y$ �� ��ɽ���μ�����ˤ�餺�ˤ��ޤ����������Ȥ�����

�֤��ޤ���������פȤ�������ʸ���̤�������������Ԥ��Ƥ��� ���Ȥ�Ҥ٤Ƥ�����դǤ��뤫�顢 ���ξ��ΤߤǤϤʤ��Ƥ��������ʾ��̤ǽи������롣

���� 14.5   $ X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˡ�Ʊ�ʹط� $ \sim$ ��

$\displaystyle a_1 \sim a_2 {\Leftrightarrow}a_1 -a_2 \in 10 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}
$

�������������Ʊ�ʹط��˴ؤ��� $ n$ �Υ��饹�� $ [n]$ �ǽ�ɽ�����Ȥˤ��롣 ���ΤȤ���
  1. $ (X/\sim) \ni [n] \mapsto (-1)^n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ϥ��ޤ��������뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  2. $ (X/\sim) \ni [n] \mapsto n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ϥ��ޤ��������ʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����

���(2)�Ǥϡ��ϥå��������������ְ�äƤ���櫓������ �ֵ�²���Ū�ʡץ��ץ�������ȤäƤ���������뤳�Ȥˤ������� ��������Τ�ľ�����Ȥϲ�ǽ�Ǥ��롣 �㤨�С�$ (X/\sim)$ ��Ǥ�դθ� $ C$ �ˤ������ơ�$ C$ �Ρ���ɽ��$ n_C$ �Ȥ��ơ� ��$ C$ �θ�����ǡ�����ǺǾ��Τ�Ρפ�Ȥ뤳�Ȥˤ���(������������)�ȡ�

$\displaystyle (X/\sim) \ni C \mapsto n_C \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}
$

�Ϥ��ޤ�������줿�����Ǥ��롣 ������󤳤ξ��ϡ���ɽ���ΤȤ����ˤ��ʤ��פȤ����������Ѥ��ʤ��� �ष����ɽ���򥷥å�������Ǥ���ΤǤ��롣

���� 14.6   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ ��Ʊ�ʹط� $ \propto$ ��

$\displaystyle (x,y)\propto (x',y') {\Leftrightarrow} (\exists \lambda >0 ((x,y)=\lambda (x',y')))
$

��������롣���ΤȤ���
  1. $ (6,10)\propto ( 3,5)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  2. $ (3,5)\propto ( 6,10)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  3. $ (3,5)\not\propto ( 6,7)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  4. $ \propto$ �ϼºݤ� $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ ��Ʊ�ʹط��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  5. $ (0,0)$ �Ȥ���Ʊ�ʹط���Ʊ�ͤʤΤ� $ (0,0)$ ���ȤΤߤǤ��뤳�� �򼨤��ʤ����� (�Ȥ��� $ \propto$ �� $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2\setminus\{(0,0)\}$ ��Ʊ�ʹط���Ϳ���뤳�Ȥ��狼�롣)
  6. $ X=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2\setminus\{(0,0)\}$ �θ� $ (x,y)$ �ˤ����������� $ X/\propto $ �ǤΥ��饹�� $ [x,y]$ �Ƚ񤯤ȡ�

    % latex2html id marker 1395
$\displaystyle f_{\ref{q:proj}}:(X/\propto) \ni [x,y]
\mapsto (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})
\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^2
$

    �Ϥ��ޤ��������뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

�¤Ͼ������� $ (X/\propto) $ �� % latex2html id marker 1401
$ f_{\ref{q:proj}}$ �ˤ�� ñ�̱߼� $ S^1=\{(x,y)\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2; x^2+y^2=1\}$ ��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롣

���� 14.7   $ X=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2\setminus \{0,0\}$ ��Ʊ�ʹط� $ \sim$ ��

$\displaystyle (x,y)\sim (x',y') {\Leftrightarrow} (\exists \lambda \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ((x,y)=\lambda (x',y')))
$

��������롣���ΤȤ��� $ X$ �θ� $ (x,y)$ �ˤ����������� $ X/\sim$ �ǤΥ��饹�� $ [x:y]$ �Ƚ񤯤ȡ�

% latex2html id marker 1430
$\displaystyle f_{\ref{q:baikaku}}
:(X/\sim) \ni [x:y] \mapsto (\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, \frac{2 x y}{x^2+y^2})
\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ^2
$

�Ϥ��ޤ��������뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� ����� % latex2html id marker 1434
$ f_{\ref{q:baikaku}}([\cos(\theta):\sin(\theta)])$ ����ʤ�����

% latex2html id marker 1436
$ f_{\ref{q:baikaku}}$ �� $ (X/\sim)$ �� $ S^1$ �Ȥ�Ʊ����Ϳ���� $ S^1 \hookrightarrow X \to (X/\sim) \cong S^1$ �ϻ��Ѵؿ����ܳѤθ����� �б����롣 �դ˸����ȡ��ܳѤθ����� �ΤäƤ���� % latex2html id marker 1444
$ f_{\ref{q:baikaku}}$ �ι�����פ��Ĥ����Ȥ��Ǥ��롣


next up previous
Next: About this document ...
2011-07-20