�����Ƚ������� No.11

��11���ܤμ��� :

��� 11.1 (��)   ���� $f: X\to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���

1. $X$ ����ʬ���� $A$ ���Ф��ơ����� $f$ �ˤ�� ��(�����Ȥ����) $f(A)$ ��
   $$f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$$
   ��������롣

2. $Y$ ����ʬ���� $B$ ���Ф��ơ����� $f$ �ˤ������ $\overset{-1}{f}(B)$ ��
   $$\overset{-1}{f}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$$
   �ˤ��������롣

$f(A)$ �ϡ���$A$ �θ��� $f$ �����ä���Τ����Ρס� $\overset{-1}{f}(B)$ �� ��$f$ �����ä� $B$ �������Τ����ΡפȾ������ʤ� �Ĥ��Ƥ����Ȱ����פ���

���� 11.1 (��)   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $f([1,2])$ ����衣
2. $f([-3,-1])$ ����衣
3. $f([2,4]\cup [-3,-1])$ ����衣
4. $f([2,4])\cap f([-3,-1])$ ����衣
5. $f([2,4]\cap [-3,-1])$ ����衣

���� 11.2   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $\overset{-1}{f}([1,2])$ ����衣
2. $\overset{-1}{f}(\{1\})$ ����衣
3. $\overset{-1}{f}(\{2\})$ ����衣
4. $\overset{-1}{f}(\{-1\})$ ����衣
5. $\overset{-1}{f}([-2,-1])$ ����衣
6. $\overset{-1}{f} ([1,2]\cup [3,4])$ ����衣

$\overset{-1}{f}$ ��(�������ˤ�餺)������Ū�ˤϻȤ��䤹���� �Ĥޤꡢ $\overset{-1}{f}$ �Ϥ��ޤ��ޤʽ��绻�ȲĴ��Ǥ��롣

���� 11.3   ���� $f: X\to Y$ ���Ф��ơ����Τ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. Ǥ�դ� $A_1, A_2 \subset Y$ ���Ф��ơ� $\overset{-1}{f}(A_1\cap A_2)=\overset{-1}{f}(A_1)\cap \overset{-1}{f}(A_2)$ .
2. Ǥ�դ� $A_1, A_2 \subset Y$ ���Ф��ơ� $\overset{-1}{f}(A_1\cup A_2)=\overset{-1}{f}(A_1)\cup \overset{-1}{f}(A_2)$ .
3. Ǥ�դ� $A\subset Y$ ���Ф��ơ� $\overset{-1}{f}(\complement A)= \complement(\overset{-1}{f} (A))$ .
4. $Y$ ��̵�¸Ĥ���ʬ����² $\{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ �ˤĤ��ơ�
   $$\overset{-1}{f}(\bigcap_{\lambda \in... ...Lambda} A_\lambda)= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \overset{-1}{f}( A_\lambda).$$

���� 11.1 �Ǹ����褦�ˡ� $f$ �����ˤĤ��Ƥϵ����ۤɤʤ�Ǥ⥢��(�ɤ���������)�Ȥ����櫓�ˤϤ����ʤ��� �ܤ����Ͻ��������ܤ򸫤�Ф褤���� ���������äƤϼ��㤬���줿���ˤ������ٹͤ��뤰�餤�� ��ʬ��������

���� 11.4   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\to x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤ������ơ��Ĥ��γ���������衣

1. $A_1=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert\leq 5$    and $\vert y\vert\leq 5$ �ˤ������ơ� $f(A_1)$ ����衣
2. $A_2=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x-5\vert\leq 5$    and $\vert y-10\vert\leq 5$ �ˤ������ơ� $f(A_2)$ ����衣
3. $f(A_1\cap A_2)$ ����衣
4. $f(A_1)\cap f(A_2)$ ����衣
5. $f(A_1 \cup A_2)$ ����衣

���� 11.5   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\to x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤ������ơ�

1. $\overset{-1}{f}(\{0\})$ ����衣
2. $\overset{-1}{f}(\{-3\})$ ����衣
3. $\overset{-1}{f}([1,5])$ ����衣
4. $\overset{-1}{f}([3,4])$ ���Ȥ�衣