�����Ƚ������� No.10

��10���ܤμ��� :

��� 10.1 (��)   �¿� $x$ ���Ф��ơ�$x$ ��Ķ���ʤ��褦�������Τ�������Τ�Τ� $\lfloor x \rfloor$ �Ƚ�(floor of $x$ ���ɤࡣ)�� �㤨�С�

$$\lfloor 3.14 \rfloor =3, \quad \lfloor -3.14 \rfloor= -4, \quad$$

�Ǥ��롣�ޤ���Ǥ�դ����� $n$ ���Ф��ơ� $\lfloor n \rfloor = n$ �Ǥ��롣

���� 10.1 (��)   $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $Y={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni x \to 2 x \in Y$ �� $g :Y \ni x \to \lfloor x/2 \rfloor \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g \circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������

�����Τ褦�ˡ� $g\circ f={\operatorname{id}}$ ���������Ȥ���$g$ �� $f$ �����ռ����� ����Ȥ�����($g$ ����ߤ�� $f$ �� $g$ �����ռ����Ǥ��롣���ΤȤ��� ����9.2�η�̤ˤ�ꡢ $g$ �����ͤ� $f$ ��ñ�ͤǤ���Τ��狼�뤳�Ȥ����դ��Ƥ������� )

���� 10.2   $g_1: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��

$$g_1(n)= \begin{cases} n/2 &\text{($n$ ¤¬¶ö¿ô¤Î»þ)} \\ 0 &\text{($n$ ¤¬´ñ¿ô¤Î»þ)} \end{cases}$$

���������С� ���� 10.1 �� $f$ ���Ф� $g_1 \circ f={\operatorname{id}}_{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 10.3   $f_1: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��

$$f_1(n)= 2 n +1$$

���������С� ���� 10.1 �� $g$ ���Ф� $g \circ f_1={\operatorname{id}}_{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 10.4 (��)   $X={\mathbb{C}}[t]$ (ʣ�ǿ������� $t$ ���ѿ��Ȥ���¿�༰�����ΤΤʤ�����), $Y={\mathbb{C}}[t]$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni p \to \int_0^t p dt \in Y$ �� $g :Y \ni p \mapsto \frac{d}{d t} p \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g \circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������

��� 10.2   ���� $f: X\to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���

1. $X$ ����ʬ���� $A$ ���Ф��ơ����� $f$ �ˤ�� ��(�����Ȥ����) $f(A)$ ��
   $$f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$$
   ��������롣

2. $Y$ ����ʬ���� $B$ ���Ф��ơ����� $f$ �ˤ������ $\overset{-1}{f}(B)$ ��
   $$\overset{-1}{f}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$$
   �ˤ��������롣

�ռ�����Ʊ������ $\overset{-1}{f}$ ��ȤäƤ��뤱��ɤ⡢ ����ε����� $f$ �εռ�����¸�ߤ��ʤ����ˤ����Ƥ��������� �Ȥ������Ȥ� ���դ��Ƥ�������

���� 10.5   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $f([1,2])$ ����衣
2. $f([-3,-1])$ ����衣
3. $f([2,4]\cup [-3,-1])$ ����衣
4. $f([2,4])\cap f([-3,-1])$ ����衣
5. $f([2,4]\cap [-3,-1])$ ����衣

���� 10.6   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $\overset{-1}{f}([1,2])$ ����衣
2. $\overset{-1}{f}(\{1\})$ ����衣
3. $\overset{-1}{f}(\{2\})$ ����衣
4. $\overset{-1}{f}(\{-1\})$ ����衣
5. $\overset{-1}{f}([-2,-1])$ ����衣
6. $\overset{-1}{f} ([1,2]\cup [3,4])$ ����衣

$\overset{-1}{f}$ ��(�������ˤ�餺)������Ū�ˤϻȤ��䤹���� �Ĥޤꡢ $\overset{-1}{f}$ �Ϥ��ޤ��ޤʽ��绻�ȲĴ��Ǥ��롣

���� 10.7   ���� $f: X\to Y$ ���Ф��ơ����Τ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. Ǥ�դ� $A_1, A_2 \subset Y$ ���Ф��ơ� $\overset{-1}{f}(A_1\cap A_2)=\overset{-1}{f}(A_1)\cap \overset{-1}{f}(A_2)$ .
2. Ǥ�դ� $A_1, A_2 \subset Y$ ���Ф��ơ� $\overset{-1}{f}(A_1\cup A_2)=\overset{-1}{f}(A_1)\cup \overset{-1}{f}(A_2)$ .
3. Ǥ�դ� $A\subset Y$ ���Ф��ơ� $\overset{-1}{f}(\complement A)= \complement(\overset{-1}{f} (A))$ .
4. $Y$ ��̵�¸Ĥ���ʬ����² $\{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ �ˤĤ��ơ�
   $$\overset{-1}{f}(\bigcap_{\lambda \in... ...Lambda} A_\lambda)= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \overset{-1}{f}( A_\lambda).$$

���� 10.5 �Ǹ����褦�ˡ� $f$ �����ˤĤ��Ƥϵ����ۤɤʤ�Ǥ⥢��Ȥ����櫓�ˤϤ����ʤ��� �ܤ����Ͻ��������ܤ򸫤�Ф褤���� ���������äƤϼ��㤬���줿���ˤ������ٹͤ��뤰�餤�� ��ʬ��������