�����Ƚ������� No.9

��9���ܤμ��� :

���� 9.1 (��)   ���� $X$ , $Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$X$ �Τ��Τ��Τθ� $x$ ������ $Y$ �Υ��ԡ� $Y_x$ ���Ѱդ���С� $\{ Y_x\}_{x \in X}$ �ϤҤȤĤν����²�Ǥ��롣 $X$ ���� $Y$ �ؤμ��� $f$ ��

$$\prod_{x \in X} Y_x$$

�θ� $(f(x))_{x \in X}$ ��Ʊ��뤵��롣���ʤ���� ľ�ѽ��� $\prod_{x \in X} Y_x$ ��$X$ ���� $Y$ �ؤμ������Τν����Ʊ���Ǥ��롣

��� 9.2 (��)   $X$ ���� $Y$ �ؤμ��������ΤΤʤ������ $Y^X$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ï¤Þ¤ï¿½

$$\operatorname{Hom}_{\text{set}} (X,Y)$$

�Ƚ񤯾��⤢�롣

���� 9.3 (��)   ���Ǥʤ�����Ф��꤫��ʤ뽸��² $\{X_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ �� �������ơ� $\prod_\lambda X_\lambda$ �϶��ǤϤʤ��� ����������ȡ�̵�¸Ĥζ��Ǥʤ����礿�� $X_\lambda$ ���顢���ä����˰�ĤŤ� ������Ф����Ȥ���ǽ�Ǥ��롣

���֥ۥƥ�ҥ�٥�ȡ�

���̤ˡ� $X$ ���� $Y$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��뤳�Ȥϡ� $X$ �θ��Τۤ��� $Y$ �θ�����־��ʤ��פ��Ȥ��̣����ȹͤ����롣 $X$ �γơ��θ���ֿ͡ס�$Y$ �γơ��θ���֥ۥƥ�������פ��㤨��ȡ� ñ�ͤ�¸�ߤϰ�ͤҤȤ꤬�̡�������������뤳�Ȥ��̣���뤫��Ǥ��롣 ��������̵�½���ˤ����Ƥϡ���¿���ס־��ʤ��פδ��Ф�ͭ�½���Ȥ� �����ۤʤ롣

���� 9.1 (��)   �Ĥ��Τ��Ȥò¤½¤ì¤¾ï¿½ì¼¨ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}^2$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^2$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
3. Ǥ�դ����� $n$ �ˤ������ơ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^n$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
4. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣

���� 9.4 (��)   ���� $A,B,C$ ���Ф��ơ�

$$(\char93 A \leq \char93 B$$$$\text { and } \char93 B \leq \char93 C ) \implies \char93 A \leq \char93 C$$

���ʤꤿ�ġ�

���� 9.5 (�٥�󥷥奿����,��)  

$$(\char93 A \leq \char93 B$$$$\text { and } \char93 B \leq \char93 A ) \implies \char93 A =\char93 B$$

���ʤꤿ�ġ�

ǻ�٤θ���(�ȥ٥�󥷥奿���������)���Ѥ���ȡ����Τ��Ȥ�ʬ����

$$\char93 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}= \char93 ({\mbox{${\mathbb{Z}}$... ...mathbb{Q}}$}=\char93 \mbox{${\mathbb{Q}}$}^2=\char93 \mbox{${\mathbb{Q}}$}^3$$

�������

��� 9.6   ���� $f: X\to Y$ �� $g: Y \to Z$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$f,g$ ������� $g\circ f: X\to Z$ ��

$$(g\circ f) (x)= g(f(x))$$

��������롣

���� 9.2   ���� $f: X\to Y$ �� $g: Y \to Z$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ������� �����ʤ�����

1. $f,g$ ���Ȥ��ñ�ͤʤ�� $g \circ f$ ��ñ�ͤǤ��롣
2. $f,g$ ���Ȥ�����ͤʤ�� $g \circ f$ �����ͤǤ��롣
3. $f,g$ ���Ȥ����ñ�ͤʤ�� $g \circ f$ ����ñ�ͤǤ��롣
4. $g \circ f$ ��ñ�ͤʤ�С� $f$ ��ñ�ͤǤ��롣
5. $g \circ f$ �����ͤʤ�С� $g$ �����ͤǤ��롣

��� 9.7   ���� $X$ ���Ф��ơ����� $X \ni x \mapsto x \in X$ �� $X$ �����������Ȥ����� ${\operatorname{id}}_X$ ��ɽ����

���� 9.3   $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ , $Y=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni x \to x \in Y$ �� $g :Y \ni x \to \vert x\vert \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g \circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������

��� 9.8   �¿� $x$ ���Ф��ơ�$x$ ��Ķ���ʤ��褦�������Τ�������Τ�Τ� $\lfloor x \rfloor$ �Ƚ�(floor of $x$ ���ɤࡣ)�� �㤨�С�

$$\lfloor 3.14 \rfloor =3, \quad \lfloor -3.14 \rfloor= -4, \quad$$

�Ǥ��롣�ޤ���Ǥ�դ����� $n$ ���Ф��ơ� $\lfloor n \rfloor = n$ �Ǥ��롣

���̤ˡ��¿� $x$ ������ $n$ ���Ф��ơ�

$$\lfloor x \rfloor = n {\Leftrightarrow} n \leq x < n+1$$

�ˤ����դ��Ƥ��������Τ� $\lfloor x \rfloor$ �Τ��Ȥ� $[x]$ �� �񤤤ơ��֥���������פȸƤ֤��Ȥ�¿���ä����� ���� floor �Τۤ����̤꤬�ɤ��ʤ�ĤĤ���褦�Ǥ��롣

���� 9.4   $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $Y={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni x \to 2 x \in Y$ �� $g :Y \ni x \to \lfloor x/2 \rfloor \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g \circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������

���� 9.5   $X={\mathbb{C}}[t]$ (ʣ�ǿ������� $t$ ���ѿ��Ȥ���¿�༰�����ΤΤʤ�����), $Y={\mathbb{C}}[t]$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni p \to \int_0^t p dt \in Y$ �� $g :Y \ni p \mapsto \frac{d}{d t} p \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g \circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������