�����Ƚ������� No.8

��8���ܤμ��� :

�����ϻϽ���Ƚ�����Ȥθ���¿������٤�Τˤ� �Ȥ��롣

�� 8.1 (��)   �Ĥ��γơ��Ϥ��줾��(�̡���)�����Ǥ��롣

1. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
2. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
3. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
4. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$
5. $f_\theenumi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni n \mapsto 2 n \in \mbox{${\mathbb{R}}$}$
6. $f_\theenumi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni n \mapsto 2 n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$

�����͡�ñ�͡���ñ�͡�

��� 8.2 (��)   ���� $f:X\to Y$ ��

1. $\forall y\in Y \exists x \in X \quad (f(x)=y)$ ���������Ȥ��� $f$ �������Ǥ���Ȥ�����
2. $\forall x_1,x_2 \in X (x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2))$ ���������Ȥ���$f$ ��ñ���Ǥ���Ȥ�����
3. ���ͤ���ñ�ͤǤ���Ȥ���$f$ ����ñ���Ǥ���Ȥ�����

���͡�ñ�͡���ñ�ͤ�Ƚ��ˤϡ�$X,Y$ �Ȥ��ƤɤΤ褦�ʤ�Τ� �ͤ��Ƥ��뤫�����ѽ��פʰ�̣����ġ�

���� 8.1 (��)   �� 8.1 �γơ������͡�ñ�͡���ñ�ͤǤ������������

���� 8.3 (��)   ���� $f:X\to Y$ ��,

1. ñ�ͤǤ��뤳�Ȥϡ�Ǥ�դ� $y_1\in Y$ �ˤ������ơ� $\Gamma_f$ �ȡֲ�������� $X\times \{y_1\}$ �Ȥζ�����ʬ������������������ʤ�(�Ĥޤꡢ�������⤷���϶�����Ǥ���) ���Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣
2. ���ͤǤ��뤳�Ȥϡ�Ǥ�դ� $y_1\in Y$ �ˤ������ơ� $\Gamma_f$ �Ȳ������� $X\times \{y_1\}$ �Ȥζ�����ʬ�� ���ʤ��Ȥ����¸�ߤ��뤳��Ʊ�ͤǤ��롣

3. ��ñ�ͤǤ��뤳�Ȥϡ�Ǥ�դ� $y\in Y$ �ˤ������ơ� $\Gamma_f$ �Ȳ������� $X\times \{y_1\}$ �Ȥζ�����ʬ�� ���礦�ɰ���¸�ߤ��뤳��Ʊ�ͤǤ��롣

���� 8.4 (��)   $f:X\to Y$ ����ñ�ͤʤ�С� �Ĥ��Τ褦������������������ $\overset{-1}{f}:Y\to X$ �������ҤȤ�¸�ߤ��롣

$$y=f(x) {\Leftrightarrow} x=\overset{-1}{f}(y)$$

���� $\overset{-1}{f}$ �Τ��Ȥ� $f$ ���ռ����Ȥ�֡�

���� 8.2 (��)   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto 2 x+1 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �εռ�������衣

��������ľ�Ѥδط���

ľ�Ѥ������פ��Ф��ȡ����Τ��Ȥ��狼�롣

���� 8.5   ���� $X$ , $Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$X$ �Τ��Τ��Τθ� $x$ ������ $Y$ �Υ��ԡ� $Y_x$ ���Ѱդ���С� $\{ Y_x\}_{x \in X}$ �ϤҤȤĤν����²�Ǥ��롣 $X$ ���� $Y$ �ؤμ��� $f$ ��

$$\prod_{x \in X} Y_x$$

�θ� $(f(x))_{x \in X}$ ��Ʊ��뤵��롣���ʤ���� ľ�ѽ��� $\prod_{x \in X} Y_x$ ��$X$ ���� $Y$ �ؤμ������Τν����Ʊ���Ǥ��롣

�������� $Y$ �Υ��ԡ��ʤɤȤ����Τ��Ѥ路���Τǡ� ���Τ褦�ʵ�����Ѥ���Ȥ��⤢�롣

��� 8.6   $X$ ���� $Y$ �ؤμ��������ΤΤʤ������ $Y^X$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ï¤Þ¤ï¿½

$$\operatorname{Hom}_{\text{set}} (X,Y)$$

�Ƚ񤯾��⤢�롣

�̤θ����򤹤�С������² $\{X_\lambda\}$ ��ľ��

$$\prod_{\lambda \in \Lambda } X_\lambda$$

�ϼ����ν���(��������)�γ�ĥ��ǰ���Ȥ�����롣

���Τ��Ȥ���������ȸƤФ����¤Ǥ��롣

���� 8.7   ���Ǥʤ�����Ф��꤫��ʤ뽸��² $\{X_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ �� �������ơ� $\prod_\lambda X_\lambda$ �϶��ǤϤʤ��� ����������ȡ�̵�¸Ĥζ��Ǥʤ����礿�� $X_\lambda$ ���顢���ä����˰�ĤŤ� ������Ф����Ȥ���ǽ�Ǥ��롣

���֥ۥƥ�ҥ�٥�ȡ�

���̤ˡ� $X$ ���� $Y$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��뤳�Ȥϡ� $X$ �θ��Τۤ��� $Y$ �θ�����־��ʤ��פ��Ȥ��̣����ȹͤ����롣 $X$ �γơ��θ���ֿ͡ס�$Y$ �γơ��θ���֥ۥƥ�������פ��㤨��ȡ� ñ�ͤ�¸�ߤϰ�ͤҤȤ꤬�̡�������������뤳�Ȥ��̣���뤫��Ǥ��롣 ��������̵�½���ˤ����Ƥϡ���¿���ס־��ʤ��פδ��Ф�ͭ�½���Ȥ� �����ۤʤ롣

���� 8.3   �Ĥ��Τ��Ȥò¤½¤ì¤¾ï¿½ì¼¨ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}\setminus \{1\}$ �ؤ���ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ���ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}^2$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
5. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^2$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
6. Ǥ�դ����� $n$ �ˤ������ơ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^n$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
7. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣

��� 8.8   ���� $A$ ���Ф��ơ�$A$ ��ǻ���ȸƤФ�뵭�� $\char93 A$ �����롣 ǻ�٤δ֤�����ϡ����Τ褦�ʰ�̣�ǻȤ���

$$\char93 A = \char93 B {\Leftrightarrow}$$    ($A$ ���� $B$ �ؤ���ñ�ͤ�¸�ߤ��롣)

������������äȴ֤˹�碌Ū�Ǥ��롣(���Ȥǡ�Ʊ�ʹط��� �Ȥ�����ǰ��Ƴ�����뤳�Ȥˤ�ꤹ�����ޥ��ˤǤ��롣)

��� 8.9   ���� $A$ ���� $B$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ���Ȥ��� $\char93 A \leq \char93 B$ �� �ñ¤¯¤ï¿½ï¿½È¤Ë¤ï¿½ï¿½ë¡£

��������� $A,B$ �ΤȤ����ˤ�餺��$A,B$ ��ǻ�٤ΤߤǷ�ޤäƤ��롣

���� 8.10   ���� $A,B,C$ ���Ф��ơ�

$$(\char93 A \leq \char93 B$$$$\text { and } \char93 B \leq \char93 C ) \implies \char93 A \leq \char93 C$$

���ʤꤿ�ġ�

�Ĥ������������򤤤��������Ͼ����񤷤��Τǽ��绻�ˤĤ��Ƥ⤦�����Ҥ٤Ƥ��� ���֤�����о������뤳�Ȥˤ��롣

���� 8.11 (�٥�󥷥奿����)  

$$(\char93 A \leq \char93 B$$$$\text { and } \char93 B \leq \char93 A ) \implies \char93 A =\char93 B$$

���ʤꤿ�ġ�

ǻ�٤θ���(�ȥ٥�󥷥奿���������)���Ѥ���ȡ����Τ��Ȥ�ʬ����

$$\char93 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}= \char93 ({\mbox{${\mathbb{Z}}$... ...mathbb{Q}}$}=\char93 \mbox{${\mathbb{Q}}$}^2=\char93 \mbox{${\mathbb{Q}}$}^3$$