�����Ƚ������� No.7

��7���ܤμ��� :

��� 7.1   ���� $X$ �� $Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $X$ �γƸ� $x$ ���Ф��ơ�$Y$ �θ� $f(x)$ ���ҤȤĤŤ�Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $X$ ���� $Y$ �ؤ����� $f$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ����� $X$ �Τ��Ȥ� $f$ ���Ͻ�����$Y$ �Τ��Ȥ� $f$ ���������Ȥ�����

$x$ ���ɤθ����ɤθ��˹Ԥ����Ȥ�������ȤȤ�ˡ� $X$ �� $Y$ ����ꤹ�뤳�Ȥ����ѽ����Ǥ��롣

���ξ����ϼ��Τ褦�˽񤯤������Ǥ��롣

$$f: X \to Y$$

$$\mathrel{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}} \mathrel{\rotatebox[origin=c]{90}{$\in$}}$$

$$x \mapsto f(x)$$

â�����Կ���������Τǡ����Τ褦�˰�ԤǺѤޤ��Ƥ��ޤ����Ȥ⤢�롣

$$f:X \ni x \mapsto f(x) \in Y$$

�������ɽ��ˡ�Ǥ⡢ �������񤯽�����Ĥ����ɬ�� $X,Y$ �������ޤǽ񤯤��Ȥ��Ǥ��뤳�Ȥ� ���դ��롣����Ū�ˤϼ�����򸫤衣

�� 7.2   �Ĥ��γơ��Ϥ��줾��(�̡���)�����Ǥ��롣

1. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \to x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
2. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \to x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
3. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \ni x \to x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
4. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \ni x \to x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$
5. $f_\theenumi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni n \to 2 n \in \mbox{${\mathbb{R}}$}$
6. $f_\theenumi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni n \to 2 n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$

�б� $x\mapsto f(x)$ �ˤĤ��ƤȤ��˸��ڤ���ɬ�פΤʤ����ˤϡ� �����Τ褦�� �ּ��� $f:X\to Y$ �� �Ȥ��� �� $X \overset{f}{\to} Y$ �� �Ⱦ�ά���ƽ񤯤��Ȥ⤢�롣

��� 7.3   ���� $f:X\to Y$ ���Ф��Ƥ����������

$$\Gamma_f=\{ (x,f(x)) \vert x \in X\} \subset X\times Y$$

��������롣

���� 7.1   �� 7.2 �μ����Τ��줾��ˤĤ��Ƥ��Υ���դ�������

�ؿ��򤽤Υ���դǤ�ä�������뤳�Ȥ�Ǥ��롣

���� 7.4   ���� $X,Y$ �ˤĤ��Ƽ��Τ��Ȥ������롣

1. Ǥ�դδؿ� $f:X\to Y$ �Υ���� $\Gamma=\Gamma_f$ �ϤĤ�������(G)����ġ�

   ����(G)

   Ǥ�դ� $x_1\in X$ ���Ф��ơ� �ֽ��������

   $$\{x_1\}\times Y =\{(x_1,y)\vert y \in Y\}$$

   �� $\Gamma$ �Ȥζ�����ʬ�Ϥ��礦�ɤҤȤĤθ�����ʤ롣

2. �դˡ�$X\times Y$ ����ʬ���� $\Gamma$ ������ (G) ����Ĥʤ�С� $\Gamma$ �Ϥ����Ĥμ��� $f:X\to Y$ �Υ���դǤ��롣

����������ȡ�$X$ ���� $Y$ �ؤμ����� $X\times Y$ �����̤���ʬ���� ��Ʊ��뤹�뤳�Ȥ��Ǥ��롣���ιͤ����򤵤�˰��̲����ơ�$X\times Y$ ����ʬ����� Ϳ���뤳�Ȥ� $X$ ���� $Y$ �ؤΡ��б��פ䡢 �ִط��פȤ�����ǰ��������뤳�Ȥ�Ǥ��롣���Τ��ȤˤĤ��ƤϤ�äȤ��Ȥ� ��������

���ϳؤǸ����С�Ϣ³��������ʬ��ǽ����������Ǹ����С���Ʊ�������Τ褦�� ��...�������������פ�ͤ��뤳�Ȥ�����¿���������ܤǤ⤢�롣 ���ؤ�ؤ־�ǡ����Τ褦�ʤ�Τ�������ɬ�פ������뤳�Ȥ�¿���������� ���Τ����� ���줬�����Ǥ��뤳�Ȥ�����å�����Τ�����ɬ���Ǥ��뤷�� ���ˤ�äƤϻŻ�����Ⱦ�����롣

���� 7.2   �Ĥ��γơ��Ϥ��줾������Ǥ���������

1. $g_\theenumi:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x\mapsto x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. $g_\theenumi:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto \sqrt{x} \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
3. $g_\theenumi:$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\ni x \mapsto ($$x$ �����ʬ���ǽñ¤¤¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½$) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
4. $g_\theenumi:$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\ni x \mapsto ($$x$ ��ʬ���ǽñ¤¤¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½$) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
5. $g_\theenumi:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto ($$x$ ��10��Ÿ���������ξ�������$) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$

�������֤��ޤ��������Ƥ��뤫���ݤ��Ϥ�����ۣ�椵���ӽ�����Ƥ��뤫�� �ݤ��äƤ����礬���롣���Τ褦�ʾ��ˤϸ��դ��դ�­����ۣ�椵�� �ӽ����뤳�Ȥˤ���������������Ǥ��뤳�Ȥ����롣

�����͡�ñ�͡���ñ�͡�

��� 7.5   ���� $f:X\to Y$ ��

1. $\forall y\in Y \exists x \in X \quad (f(x)=y)$ ���������Ȥ��� $f$ �������Ǥ���Ȥ�����
2. $\forall x_1,x_2 \in X (x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2))$ ���������Ȥ���$f$ ��ñ���Ǥ���Ȥ�����
3. ���ͤ���ñ�ͤǤ���Ȥ���$f$ ����ñ���Ǥ���Ȥ�����

���͡�ñ�͡���ñ�ͤ�Ƚ��ˤϡ�$X,Y$ �Ȥ��ƤɤΤ褦�ʤ�Τ� �ͤ��Ƥ��뤫�����ѽ��פʰ�̣����ġ�

���� 7.3   �� 7.2 �γơ������͡�ñ�͡���ñ�ͤǤ������������

����դθ��դǸ����С����Τ褦�ʤ��Ȥˤʤ롣

���� 7.6   ���� $f:X\to Y$ ��,

1. ñ�ͤǤ��뤳�Ȥϡ�Ǥ�դ� $y_1\in Y$ �ˤ������ơ� $\Gamma_f$ �ȡֲ�������� $X\times \{y_1\}$ �Ȥζ�����ʬ������������������ʤ�(�Ĥޤꡢ�������⤷���϶�����Ǥ���) ���Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣
2. ���ͤǤ��뤳�Ȥϡ�Ǥ�դ� $y_1\in Y$ �ˤ������ơ� $\Gamma_f$ �Ȳ������� $X\times \{y_1\}$ �Ȥζ�����ʬ�� ���ʤ��Ȥ����¸�ߤ��뤳��Ʊ�ͤǤ��롣

3. ��ñ�ͤǤ��뤳�Ȥϡ�Ǥ�դ� $y\in Y$ �ˤ������ơ� $\Gamma_f$ �Ȳ������� $X\times \{y_1\}$ �Ȥζ�����ʬ�� ���礦�ɰ���¸�ߤ��뤳��Ʊ�ͤǤ��롣

���ƥ襳���ž���뤳�Ȥˤ��(�⤷���ϡ� ��ñ������Ū�ʵ����ˤ��)�����Τ��Ȥ�ʬ���롣

���� 7.7   $f:X\to Y$ ����ñ�ͤʤ�С� �Ĥ��Τ褦������������������ $\overset{-1}{f}:Y\to X$ �������ҤȤ�¸�ߤ��롣

$$y=f(x) {\Leftrightarrow} x=\overset{-1}{f}(y)$$

���� $\overset{-1}{f}$ �Τ��Ȥ� $f$ ���ռ����Ȥ�֡�

���� 7.4   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto 2 x+1 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �εռ�������衣