next up previous
Next: About this document ...

    

�����Ƚ������� No.2

��2���ܤμ��� : \fbox{½¸¹ç}

�� ����(³��)

���� 2.1   ��$ x> 3$ �ʤ�� $ x >2$ �� ������������������ (�����ιֵ��餷����ä���̩�˽ñ¤¯¤Ê¤ï¿½: $ \forall x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ (x >3 \implies x>2)$ ��������?)

��$ P$ �ʤ�� $ Q$ �פϡ�$ P$ ������Ω�ĤȤ��ˤϡ�$ Q$ ������Ω�Ĥ��Ȥ� ��ĥ���Ƥ��롣�Ǥ� $ P$ ������Ω���ʤ��Ȥ��ˤϤɤ����������� ��������ǤϾ��˱����Ƽ�����Ĥΰ�̣���Ѥ��Ƥ��롣

  1. $ P$ �Ǥʤ��Ȥ��ϴ��Τ��ʤ���($ P$ �����Ǥ⡢���Ǥ�ɤ���Ǥ�褤��)
  2. $ P$ �Ǥʤ��Ȥ��� $ Q$ �Ǥʤ�(�ȸ����˸��äƤ���)��
ۣ�椵���򤱤뤿�ᡢ���ؤǤϡ֤ʤ�Сפ����Ԥΰ�̣�ǤΤ��Ѥ��롣

$ P \implies Q$ �ϡ� $ P$ ���ꤹ��� $ Q$ ����������롣�פȲ�᤹�롣 ��������С� �����Ȥϡ����벾�� $ P$ �򤪤����Ȥ��ˡ�������������§���Ѥ��� ���� $ Q$ ��Ƴ���Ф����Ȥ�¾�ʤ�ʤ���

$ P$ �� $ Q$ �ο����ͤ����ĤǤ���פ���Ȥ��� $ P$ �� $ Q$ �Ȥ� Ʊ���Ǥ���Ȥ����� $ P{\Leftrightarrow}Q$ �Ƚ񤯡� ����� ��( $ P \implies Q$ ) ���� ( $ Q\implies P$ )�� ��Ʊ�����ȤǤ��롣

���� 2.2   $ P{\Leftrightarrow}Q$ �� $ (P \implies Q)$    and $ (Q \implies P)$ �ο����ͤ� ���פ��뤳�Ȥò¡¢¿ï¿½ï¿½ï¿½É½ï¿½ï¿½ï¿½Ñ¤ï¿½ï¿½Æ¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

�����Ѥ��Ƥ��뤤���Ĥ��δ���Ū�ʿ�����§�⡢����ɽ���Ѥ���ľ���� Ƴ���������Ȥ��Ǥ��롣�㤨�м��Τ褦�ʶ��Ǥ��롣

���� 2.3   ̿�� $ P,Q$ �ˤĤ��ơ� $ (P$    and $ Q) \implies P$ ����� $ P \implies (P$    or $ Q)$ ����Ω���뤳�Ȥò¡¢¿ï¿½ï¿½ï¿½É½ï¿½ï¿½ï¿½Ñ¤ï¿½ï¿½Æ¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��� 2.1   �����Ȥϡ� �����°����Ǥ��뤫�ݤ����Ϥä����ޤäƤ���褦�� �֥�ΡפΤ��Ĥޤ�Ǥ��롣 (ï�����Ƥ�Ϥä���Ȥɤ��餫��ʬ����Ƥ��ơ� ������ո����������ʤ��Ȥ������Ȥ�����Ǥ��롣)

��������ޤ����¿���֤˹�碌Ū�Ǥ��롣��äȸ���Ū�ˤϡ� �����Ĥ��δ���Ū�ʽ����¸�ߤ򤢤餫��������Ȥ�����ᡢ����餫�� �����Ĥ��μ�³�� �ˤ�äƺ��줿ʪ�Τ� �򽸹�ȸƤ֡�

���� $ M$ �ˤ������ơ�$ x$ �� $ M$ ��°����Ȥ���$ x$ �� $ M$ ����(����) �Ǥ���Ȥ����� $ x\in M$ �Ȥ��� $ M \ni x$ �� �񤭡������Ǥʤ��Ȥ� $ x\notin M$ �Ȥ� $ M \not \ni x$ �Ƚ񤯡�

���ȤΡ�����ʬ����Ȥ��ƴޤޤ��פȤζ��̤�Ĵ���뤿�ᡢ $ x\in M$ �Τ��Ȥ� �� $ x$ �� $ M$ �˸��Ȥ��ƴޤޤ�롣�פȤ����ɤ����򤹤뤳�Ȥ⤢�롣

����ϡ��楫�å�����˽�����Τ���դǡ����뤤�ϥꥹ�ȥ��åפ��� �񤭤������Ȥˤ��ɽ���Ǥ��롣������򸫤衣

�� 2.2 (���ؤǤ褯�Ȥ��������)  
  1. �������Τν��� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{\dots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots \}$ .
  2. �����������Τν��� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}=\{1,2,3,4,5,\dots \}$ .
  3. ͭ�������Τν��� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1215
$ =\{\dfrac{x}{y} \vert x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, y\neq 0\}$ .
  4. �¿����Τν��� $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
  5. ʣ�ǿ����Τν��� $ {\mathbb{C}}$ .

�㤨�о��(3)�Τ褦�ˡ�$ x,y$ �μ� $ f(x,y)$ �ȡ� $ x,y$ �� �ѿ��Ȥ���̿�� $ P(x)$ �ˤ������ơ�

$\displaystyle \{f(x,y) \vert P(x,y)\}
$

�ʤ뽸���ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣����� $ P(x,y)$ �����Ǥ���褦�� $ x,y$ ���٤Ƥ� �ȤˤĤ��ơ� $ f(x,y)$ �򽸤�Ƥ�������ΰ�̣�Ǥ��롣 (���ƥܥ� $ \vert$ �ΤȤ����򥻥ߥ����� $ ;$ �ˤ�������⤢�롣)

��ʬ��ʬ�ؤǻȤ��ֶ�֡פˤĤ��Ƥ�񤤤Ƥ�������

��� 2.3   �¿� $ a,b$ ($ a<b$ ) �ˤĤ��ơ����Τ褦��������롣

  $\displaystyle [a,b]=\{ x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1251
$\displaystyle \vert a\leq x \leq b\}$    
  $\displaystyle (a,b]=\{ x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1254
$\displaystyle \vert a< x \leq b\}$    
  $\displaystyle [a,b)=\{ x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1257
$\displaystyle \vert a \leq x < b\}$    
  $\displaystyle (a,b)=\{ x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle \vert a< x < b\}$    

��Ĥν��� $ A,B$ �����������Ȥ򼨤��ˤϡ� ��$ x\in A$ �� �� ��$ x\in B$ �� �Ȥ�Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ��������Τ���ƻ�Ǥ��롣

���� 2.4  

$\displaystyle \{x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ; x^2 <4\} = (-2,2)
$

�򼨤��ʤ�����

â�������Τ��ȤϻȤäƤ��ɤ���

  1. $ x,y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ , x> 0,y >0 \implies x y > 0$ .
  2. $ x,y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ , x> 0,y <0 \implies x y < 0$ .
  3. $ x,y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ , x< 0,y >0 \implies x y < 0$ .
  4. $ x,y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ , x<0,y<0 \implies x y >0$ .
  5. $ x,y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ,( x=0$    or $ y= 0 )\implies x y =0$ .

��� 2.4   ���� $ A,B$ ��

$\displaystyle x \in A \implies x \in B
$

��ߤ����Ȥ���$ A$ �� $ B$ ����ʬ�����Ǥ���(�⤷���ϡ� $ A$ �� $ B$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤޤ��)�Ȥ�����

$\displaystyle A \subset B
$

( $ B \supset A$ �Ƚ񤯤��Ȥ⤢��) ��ɽ����

��������Ⱦ�ǽҤ٤����Ȥ��Ѥ���ȡ�

$\displaystyle A = B  {\Leftrightarrow} (A \subset B$    and $\displaystyle A \supset B)
$

�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롣

�����������ʬ������������äƹͤ�����ɤ���

���� 2.5   $ \{ x \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ; x^2 < 4\} \subset \{ x \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ; x <3\} $ �ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��� 2.5   ���� $ A,B$ �ˤ������ơ�

$\displaystyle A\cap B=\{ x ; x \in A$    and $\displaystyle x \in B\}
$

$\displaystyle A\cup B=\{ x ; x \in A$    or $\displaystyle x \in B\}
$

�򤽤줾�� $ A$ �� $ B$ �ζ�����ʬ�ڤ��½���Ȥ�����

$ A \cap B$ �� $ A$ ����å� $ B$ �Ȥ���$ A$ ���󥿡���������� $ B$ ���ɤࡣ��$ A$ ���� $ B$ �� ���ɤ�ͤ⤤�ʤ��ǤϤʤ���ʶ��路������ ���Ƥ������ۤ����ɤ���Ʊ�ͤˡ� $ A \cup B$ �� $ A$ ���å� $ B$ �Ȥ���$ A$ ��˥��� $ B$ ���ɤࡣ

���Τ��Ȥ��б����������η�̤��餹����ʬ���롣

���� 2.6   Ǥ�դν��� $ A,B$ ������ $ A \cap B \subset A$ �� $ A \subset A \cup B$ ������Ω�Ĥ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½


next up previous
Next: About this document ...
2011-04-20