��ʬ��ʬ�س���AI���� No.16

��16����: ���

• �������ߤϲ��Ǥ�ĤǤ��롣��������¾�ͤ����Ǥˤʤ��Ρ� ������̿���ǽ���Ĥ�Τ������
• �����ѻ�ˤ�ɬ�������ֹ��̾���������뤳�ȡ�
• �����ѻ��΢�̤��Ѥ��Ƥ�褤�������ξ��ˤϤ��줬ʬ����褦�� �������뤳�ȡ�
• ���λ�β�����ˤĤ��Ƥ� http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/ ���餿�ɤäƸ��뤳�Ȥ��Ǥ���褦�ˤ���ͽ��Ǥ��롣
• ���Ӥ�������2����6F���إ������Ǽ��Ĥˤ����Ƴ�ǧ�Ǥ���褦�ˤ��롣 �Ǽ�������ޤǤ����ӤξȲ����ˤϱ������ʤ���

���� 16.1   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� $f(x)=x^4$ �ˤ�����롣���ΤȤ����ʲ�����������ʤ�����

1. $f$ �� Ǥ�դ� $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤ�����Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ�����˽��äƼ����ʤ�����
2. $f$ �� $[-5,5]$ �ˤ����ư���Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ�����˽��äƼ����ʤ�����

����

(1) Ǥ�դ����ο� $\epsilon>0$ ���Ф��ơ� $\delta=\min(1, \frac{\epsilon}{4 \vert a\vert^3+6\vert a\vert^2+4\vert a\vert+1} )$ �Ȥ�����

(���μ���ʬ��������ʬ��˸���� $4 \vert a\vert^3+6\vert a\vert^2+4\vert a\vert+1$ �� $1$ �ʾ�������껻�Ͼ�� �¹ԤǤ��뤳�Ȥˤ����դ��Ƥ�����)

$\vert x-a\vert<\delta$ �ʤ�Ǥ�դμ¿� $x$ ���Ф��ơ�$t=x-a$ �Ȥ�������

$$\vert t\vert<1$$ (��)

��

$$\vert t\vert<\frac{\epsilon}{4 \vert a\vert^3+6\vert a\vert^2+4\vert a\vert+1}$$ (��)

�Ȥ���2�Ĥμ�������Ω�Ĥ��Ȥ����դ��ʤ���ʲ��Τ褦�˷׻����롣

$$\vert f(x)-f(a)\vert=$$

$$\vert f(a+t)-f(a)\vert= \vert(a+t)^4-a^4\vert$$

$${\underset{\tiny\text{\ovalbox{Æó¹àÄêÍý}}}{=}} \vert 4 a^3 t + 6 a^2 t^2 +4 a t^3 + t^4\vert$$

$${\underset{\tiny\text{\ovalbox{»°³ÑÉÔÅù¼°}}}{\leq}} \vert 4 a^3 t\vert + \vert 6 a^2 t^2\vert +\vert 4 a t^3\vert +\v... ... \vert a\vert^2 \vert t\vert^2 + 4 \vert a\vert \vert t\vert^3 + \vert t\vert^4$$

$${\underset{\tiny\text{\ovalbox{(¥¢)}}}{\leq}} 4 \vert a\vert^3 \vert t\vert + 6 \vert a\vert^2 \vert t\vert +4 ... ...t t\vert =(4 \vert a\vert^3 + 6 \vert a\vert^2 +4 \vert a\vert + 1)\vert t\vert$$

$${\underset{\tiny\text{\ovalbox{(¥¤)}}}{\leq}} \epsilon.$$

���Τ��Ȥ��� $f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ���������롣

(2)

Ǥ�դ� $\epsilon>0$ ���Ф��ơ�

$$\delta= \min(1,\frac{\epsilon}{4\cdot 5^3+6 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 + 1 }) (=\min(1,\frac{\epsilon}{(5+1)^4-5^4})=\min(1,\frac{\epsilon}{671}))$$

�Ȥ����� ����ȡ� $\vert x-a\vert<\delta$ ��ߤ����褦��Ǥ�դ� $x,a \in [-5,5]$ ���Ф��ơ� (1)��Ʊ�ͤ� $t=x-a$ �Ȥ�����

$$\vert f(x)-f(a)\vert {\underset{\tiny... ...xt{\ovalbox{$a\in [-5,5]$, ²¼µ­Ãí¤â»²¾È}}}{\leq }} 671 \vert t\vert <\epsilon.$$

(��: ����������κ��դ����ο��Ф����­���Ƥ��뤳�Ȥ����ա� �������ƹब�礭���ۤ��礭���ʤ�Τǡ� $\vert a\vert^3,\vert a\vert^2,\vert a\vert$ �򤽤줾�� $5^3,5^2,5$ ���֤��������ۤ����礭���ʤ롣)

���Τ��Ȥ��� $f$ �� $[-5,5]$ �ǰ���Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ���������롣