��ʬ��ʬ�س���AI���� No.14

���� 14.1   ���ο� $a$ �ˤ������ơ�

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\ni q\mapsto a^q \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$

�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ϣ³�ؿ��˳�ĥ����� $a>1$ �ʤ��ñĴ���á�$a<1$ �ʤ��ñĴ������ $a=1$ �ʤ�����ؿ��ˤʤ롣 $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤ����뤳�δؿ����ͤ� $a^x$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

Proof. $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤ������ơ�$x$ �˼�«����ͭ������ $\{q_j\}$ ��Ȥꡢ $\{a^{q_j}\}$ ��ͤ���ȡ�����ϥ���������Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣 �椨�ˡ�������Ϥ���¿��˼�«���롣���ĤϤ��μ¿��� $x$ ���� $\{q_j\}$ �μ�����ˤ��ʤ����Ȥ��狼�뤫�顢����� $a^x$ �Ƚñ¤¤¤Æºï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ù¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ �Ѱդ�ʬ����褦�� $x\mapsto a^x$ ��ñĴ�Ǥ��롣 $x\to a^x$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥϥ�ݡ�������12.1���(���ڡ�������)��Ʊ�ͤ���ˡ�ˤ��ʬ���롣

$\qedsymbol$

$e$ �������פ��Ф��Ƥ�������

$$e= \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$$

��� 14.2   �ؿ��ؿ� $e^x$ �εմؿ��� $\log(x)$ �ǽñ¤­¡ï¿½$x$ �μ����п��Ȥ�֡�

�մؿ��������ˤ�ꡢ$\log(x)$ �� $x$ ��ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ� �狼�롣

���ؤǤ��Ǥ�ʤ��¤��п�����Ȥ��Ƥ� $e$ ��Ȥꡢ �����п���ͤ���Τ����̤Ǥ��롣

���� 14.3   $a^x=e^{x \log(a)}$ .

���� 14.4   ���Τ��Ȥ��ʤꤿ�ġ�

1. $\lim_{x\to \pm \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$ .
2. $\lim_{x\to 0}(1+x) ^{1/x}=e$ .
3. $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1$ . ($\log(x)$ ����ʬ�δ��ܤˤʤ뼰)
4. $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ . ($e^x$ ����ʬ�δ��ܤˤʤ뼰)

��������� $e^x$ �� $x\to 0$ �ε�ư�򵭽Ҥ����Τ����� $x\to \infty$ �ΤȤ��ε�ư������Ǥ��롣

���� 14.5  

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x}=0$$

���� 14.6  

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{e^x}=0$$

��������衣

���� 14.1  

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x^7+x^5}{e^x}=0$$

��������衣

���� $f,g:X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ϣ³�ʤ�� $f+g: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� $f\cdot g: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ����(����)������

���Τ��Ȥϡ��Ĥ��Τ褦�ʤ��Ȥ�Ȥ��й����ؿ���Ϣ³���ˤ�� �����Ǥ��ƥ��å��ꤹ�롣

1. $f,g:X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ϣ³�ʤ� $(f,g): X \ni x \mapsto (f(x),g(x))\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ ��Ϣ³��

2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\mapsto x+y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ϣ³��

3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\mapsto x\cdot y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ϣ³��

â���������� (���ϳ�I�ǽ���ͽ���) ¿�ѿ��ؿ���Ϣ³���ε�����ɬ�פȤ��롣

����12.1 ������ Ǥ�դ� $\epsilon>0$ ���Ф��ơ� $\epsilon_0=\min(\epsilon, \frac{1}{2})$ �Ȥ����� ( $\epsilon$ ������� $\epsilon_0$ ��ͤ��뤳�Ȥˤ�äơ� $\epsilon$ ���礭�����ο��ۤ򤷤ʤ��ƺѤࡣ) $N= \lfloor \frac{1}{\epsilon_0} \rfloor +1$ �Ȥ����� $N$ �� $\frac{1}{N}<\epsilon_0$ �Ȥʤ�褦�������Ǥ��롣 �������Ƥ����ơ�

$q$ �� $\vert q\vert<\delta$ ���������褦��Ǥ�դ�ͭ�����Ȥ��褦�� ���ʤ����

$$-\delta <q < \delta.$$

No.12 �ιֵ���˽Ҥ٤��褦�ˡ� $x$ ��ͭ�������ϰϤǤ� $x \mapsto 2^x$ ��ñĴ���äǤ��뤫�顢 $q$ , $\frac{1}{N}$ ��ͭ�����Ǥ��뤳�Ȥ����դ���

$$2^{-\frac{1}{N}}=2^{-\delta}<2^{q} < 2^\delta =2^{\frac{1}{N}}.$$ (14.1)

¾���ǡ�

$$2 {\underset{\tiny\text{\ovalbox{$N$ ¤ÎÄêµÁ}}}{<}} N \epsilon_0 {\underset{\tiny\text{\ovalbox{Æó¹àÄêÍý}}}{<}}(1+\epsilon_0)^N.$$

(��������ΤȤ����Ͽ���Ū��Ǽˡ�ε������֤������Ƥ��ɤ���) �椨�ˡ�$N$ �躬��ñĴ���ˤ�ꡢ

$$2^{\frac{1}{N}} < 1 +\epsilon_0$$ (14.2)

���狼�롣�ޤ���ξ�դεտ������

$$2^{-\frac{1}{N}} > \frac{1}{1+\epsilon_0} {\underset{\tiny\text{\ovalbox{$\epsilon_0<1$}}}{>}} 1-\epsilon_0.$$ (14.3)

(����������Ǥ� $0<\epsilon_0 <1$ ��� $1 >1-\epsilon_0^2 = (1+\epsilon_0)(1-\epsilon_0)$ ���������Ȥ��Ѥ��Ƥ��롣)

(14.1), (14.2), (14.3) ���Ȥ߹�碌�뤳�Ȥˤ�ꡢ

$$-\epsilon_0 <2^q -1 < \epsilon_0$$

���ʤ����

$$\vert 2^q -1\vert <\epsilon_0 \leq \epsilon$$

���狼�롣 $\qedsymbol$ ARRAY(0x8edbfa0)